Question

Calcular o angulo entre os vetores u= (1,2,3) e v= (-2,4,5)?

Answer 1

Resposta:

$\theta\approx 33^{\circ}12'39''$

Explicação passo-a-passo:

Boa noite!

Podemos utilizar a definição de produto interno para obter o ângulo entre dois vetores quaisquer.

Dados dois vetores, conforme abaixo:

$\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}\\\vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$

O produto interno pode ser calculado de duas formas:

1) $\vec{u}\cdot\vec{v}=ax+by+cz$

Ou seja, produto entre os termos i, j e k, respectivamente.

2) $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\;\cos\theta$

Onde:

$\|\vec{u}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\\|\vec{v}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

e θ é o ângulo entre os vetores.

Usando essas duas definições de maneira simples conseguimos calcular o ângulo entre dois vetores quaisquer:

$\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}$

Então, dados:

$\vec{u}=(1,2,3)\\\\\vec{v}=(-2,4,5)$

Agora podemos calcular:

$\vec{u}\cdot\vec{v}=1.(-2)+2.4+3.5=-2+8+15=21\\\\\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\\\\\|\vec{v}\|=\sqrt{(-2)^2+4^2+5^2}=\sqrt{4+16+25}=\sqrt{45}$

Agora:

$\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}\\\\\cos\theta=\dfrac{21}{\sqrt{14}\;\sqrt{45}}=\dfrac{21}{\sqrt{630}}\\\\\boxed{\theta\approx 33^{\circ}12'39''}$