Question

16 ×elevado a4 -40×elevado a2+9=0
?

Answer 1

Resposta: $x = \{ -\dfrac{3}{2}, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \}$

Explicação passo-a-passo: Primeiro, vamos adotar que $a = x^2$. Então a expressão fica $16x^4 - 40x^2 + 9 = 16a^2 - 40a + 9$.

Reescrevendo $16a^2 - 40a + 9$ como $\left(16a^2-4a\right)+\left(-36a+9\right)$, podemos

• isolar o $a$ no primeiro parênteses

$\left(16a^2-4a \right) = 4a(4a - 1)$

• isolar o $-9$ no segundo parênteses

$\left(-36a+9\right) = -9(4a-1)$

Substituindo de volta, temos $4a(4a - 1) -9(4a-1)$. Isolando $(4a - 1)$, o resultado é $(4a - 1)(4a - 9)$.

Como $a = x^2$, então temos $(4x^2 - 1)(4x^2 - 9)$. Podemos

• aplicar a propriedade $a^2 - b^2 = (a + b)(a- b)$ no primeiro parênteses

$(4x^2 - 1) = (2x - 1)(2x + 1)$

• aplicar a mesma propriedade no segundo parênteses

$(4x^2 - 9) = (2x - 3)(2x + 3)$

Então concluimos que $16x^4 - 40x^2 + 9 = (2x - 1)(2x + 1)(2x - 3)(2x + 3)$. Como essa expressão é igual a 0, podemos criar um sistema de equações:

$\begin{cases}2x - 1 = 0\\2x + 1 = 0\\2x - 3 = 0 \\2x + 3 = 0\end{cases}$

• Da primeira equação, temos que $x = \dfrac{1}{2}$.

• Da segunda equação, temos que $x = -\dfrac{1}{2}$.

• Da terceira equação, temos que $x = \dfrac{3}{2}$.

• Da quarta equação, temos que $x = - \dfrac{3}{2}$.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Lucilia, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver a seguinte equação biquadrada:

16x⁴ - 40x² + 9 = 0 ------- veja que x⁴ = (x²)². Assim, ficaremos:

16(x²)² - 40x² + 9 = 0 ---- agora vamos fazer x² = y. Fazendo isso, ficamos:

16(y)² - 40y + 9 = 0  --- ou apenas:

16y² - 40y + 9 = 0 ----- agora note que ficamos com uma equação do 2º grau em "y" e, para encontrar suas raízes, vamos utilizar a fórmula de Bháskara, que é esta:

y = [-b ± √(Δ)]/2a ------ sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo-se, temos:

y = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Note que os coeficientes da equação do 2º grau em "y" são estes: a = 16 --- (é o coeficiente de y²); b = - 40 --- (é o coeficiente de y); c = 9 --- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima, teremos:

y = [-(-40) ± √((-40)² - 4*16*9)]/2*16 ----- desenvolvendo, temos:

y = [40 ± √(1.600 - 576)]/32 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

y = [40 ± √(1.024)]/32 ---- como √(1.024) = 32, teremos:

y = [40 ± 32]/32 ----- daqui você conclui que:

y' = (40-32)/32 ---> y' = 8/32 ---> y' = 1/4 (após simplificarmos tudo por "8");

e

y'' = (40+32)/32 --> y'' = 72/32 --> y'' = 9/4 (após simplificarmos tudo por "8").

ii) Mas lembre-se que fizemos x² = y. Então teremos:

ii.1) Para y = 1/4 , teremos:

x² = 1/4 ---- isolando "x", teremos;

x = ± √(1/4) ----- note que √(1/4) = 1/2. Assim, ficaremos com:

x = ± 1/2 ---- ou seja, temos que:

x' = -1/2; x'' = 1/2 <--- Estas são as duas primeiras raízes da equação original.

ii.2) Para y = 9/4, teremos:

x² = 9/4 ---- isolando "x", teremos;

x = ± √(9/4) ----- como √(9/4) = 3/2, teremos:

x = ± 3/2 ---- ou seja, teremos que:

x''' = - 3/2; x'''' = 3/2 <--- Estas são as outras raízes da equação original.

iii) Assim, resumindo, teremos que as raízes da equação biquadrada originalmente dada [16x⁴ - 40x² + 9 = 0] serão estas (colocando-as em ordem crescente):

x' = -3/2; x'' = -1/2; x''' = 1/2; x'''' = 3/2 <--- Esta é a resposta.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x'';  x'''; x''''} da seguinte forma o que dá no mesmo (também colocando-as em ordem crescente):

S = {-3/2; -1/2; 1/2; 3/2}.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.