Question

Quais os valores de M, N e P para que a equação 3x²+ my²- nxy+ 6x+ 8y+ p= 0 represente uma circunferência ?

Gostaria da explicação passo a passo sobre como eu posso desenvolver e achar, por favor.

Answer 1

Resposta:

m = 3

n = 0

$p \leq \frac{25}{3}$

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Dada a equação

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0    (1)

para que esta equação represente uma circunferência deve obedecer as seguintes condições:

1) $A = B \neq 0$

2) $C = 0$

3) $r = \sqrt{\frac{D^2+E^2-4AF}{4A^2} }$

Estas condições são necessárias para que possamos reescrever a equação (1) numa equação da forma:

$(x-x_c)^2 +(y-y_c)^2=r^2$    (2)

Esta é a equação da circunferência com centro $C(x_c,y_c)$ e raio $r$

Para a obtenção das condições, 1, 2 e 3, apresentadas anteriormente, devemos a partir da utilização de operações algébricas chegar na equação (2) a partir da equação (1).

Posto isso, temos da equação dada: 3x²+ my²- nxy+ 6x+ 8y+ p= 0 que:

m = 3 (pois o coeficiente de x² deve ser igual ao coeficiente de y², condição 1)

n = 0 (condição 2)

Da condição 3, temos:

$r = \sqrt{\frac{D^2+E^2-4AF}{4A^2} }\\\\r = \sqrt{\frac{6^2+8^2-4.3.p}{4.3^2} }\\\\r = \sqrt{\frac{36+64-12.p}{36}}\\\\r = \sqrt{\frac{100-12.p}{36}}\\\\r = \sqrt{\frac{25-3.p}{9}}\\\\r = \frac{\sqrt{25-3.p}}{3}$

Daí temos que:

$25-3.p\geq 0\\\\-3p \geq -25\\\\3p \leq 25\\\\p \leq \frac{25}{3}$

Bons estudos!!!