Respostas
Resposta:
0 < x < pi/2 ...1ª quadrante ... cos x>0
e cos(x/2) é também do 1ª quadrante ..cos(x/2) >0
cos( a+a)==cos²a-sen²a =2cos²(a) -1
cos(x) =cos(x/2+x/2) =2* cos²(x/2) -1
3/4 = 2 * cos²(x/2) -1
3/4+1 =2*cos²(x/2)
7/4 =2*cos²(x/2)
7/8 =cos²(x/2)
cos(x)=√(7/8) =√7/2√2 =(√14)/4
Vamos lá.
Veja, Almeida, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se: sabendo-se que cos(x) = 3/4, e que o arco "x" está no seguinte intervalo: 0 < x < π/2 (o que equivale ao primeiro quadrante, local em que todas as funções trigonométricas são positivas), pede-se para determinar o valor de cos(x/2).
ii) Antes de iniciar, note que há as seguintes fórmulas para o cálculo do chamado "arco-metade":
sen(x/2) = ± √[(1-cos(x))/2] . (I).
cos(x/2) = ± √[(1+cos(x))/2] . (II).
tan(x/2) = ± √[(1-cos(x))/(1+cos(x))]. (III).
iii) No caso da sua questão, como queremos saber o valor do arco-metade relativo a cos(x/2), então vamos utilizar a expressão (II) acima:
cos(x/2) = ± √[(1+cos(x))/2] ---- mas como já sabemos que arco "x" está no primeiro quadrante (onde todas as funções trigonométricas são positivas), então vamos deixar de utilizar o sinal de (±), pois já sabemos que o cos(x/2) será positivo. E como já vimos que cos(x) = 3/4, então iremos ficar com:
cos(x/2) = √[(1+3/4))/2] ----- como "1+3/4 = (4*1+1*3)/4 = (4+3)/4 = 7/4", então teremos:
cos(x/2) = √[(7/4)/2] ---- note que "(7/4)/2 = (7/4*2) = (7/8)". Assim, substituindo-se, teremos:
cos(x/2) = √(7/8) ------- note que isto é equivalente a:
cos(x/2) = √(7)/√(8) ----- note que √(8) = √(2³) = √(2².2) = 2√(2). Assim, ficaremos com:
cos(x/2) = √(7) / 2√(2) ---- para racionalizar, vamos multiplicar numerador e denominador por √(2). Fazendo isso, teremos:
cos(x/2) = √(7)*√(2) / 2√(2)*√(2) ----- desenvolvendo, teremos:
cos(x/2) = √(7*2) / 2√(2*2) ----- continuando o desenvolvimento, temos:
cos(x/2) = √(14) / 2√(4) ----- como √(4) = 2, teremos:
cos(x/2) = √(14) / 2*2 ---- e finalmente, como "2*2 = 4", teremos:
cos(x/2) = √(14) / 4 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este será o valor do arco-metade relativo a cos(x/2) da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.