Question

Prove o seguinte teorema:
Para todos os números reais a e b, se a < b e b < 0 então a² > b².

Como eu poderia provar esse teorema? Qual propriedade matemática eu poderia/deveria usar?

Desde já eu agradeço.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Andy, que a resolução parece mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para provar que: para todos os números reais "a" e "b", se a < b e b < 0, então teremos que: a² > b².

ii) Intuitivamente é simples, pois note que se a < b e b < 0, então se "b" é um número negativo (menor do que zero) e "a" ainda é menor que "b" que já é um número menor do que zero, então, em módulo "a" será maior do que "b". Veja este exemplo:

ii.1) Digamos que "b" seja o número negativo "-4". Ora, mas como o número "a" ainda é menor do que "b", então digamos que o número "a" seja o número negativo "-5". Veja que "-5" é menor do que "-4". Mas, em módulo, "-5" é maior que "-4", pois "5" é maior do que "4". Então se elevarmos ambos ao quadrado, ficaremos com:

a² = (-5)² = 25 e b² = (-4)² = 16. Assim, fica provado que, nesse caso:

a² > b² , pois "25" é maior que "16", para o caso deste nosso exemplo.

ii.2) Agora vamos generalizar: como vimos acima se a < b e b < 0, então estamos afirmando que "b" é um número negativo e "a" é um número ainda menor do que "b". Isso significa que, como ambos são negativos, então o módulo de "a" será maior que o módulo de "b". E quando você eleva um número negativo ao quadrado o resultado é positivo. Logo, se em módulo "a" é maior do que "b", então teremos isto forçosamente:

a² > b².

Mas vamos para uma generalização mais "católica":

● se a < b e b < 0, então teremos que: a < 0 e b < 0;

● e se a < 0 e b < 0, então teremos que: (a+b) < 0, pois é a soma de dois números negativos que dará negativo também;

● se a < b e b < 0, então teremos também que: (a-b) < 0, pois é a subtração de "a" que tem um módulo maior que "b". E se a < b, então o resultaado dará negativo. Logo, o resultado de (a-b) é menor que zero;

● se (a+b) < 0 e (a-b) < 0, então o produto (a+b)*(a-b) > 0 ----- desenvolvendo, temos: (a+b)*(a-b) > 0  ---> a² - b² > 0 -----> passando "-b²" para o 2º membro, teremos: a² > b² <---- que é o que queríamos demonstrar.

Não sei se deu pra satisfazer plenamente. Mas cremos que seja por aí.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Prove o seguinte teorema:  Para todos os números reais a e b, se a < b e b < 0 então a² > b².

Foi dado que: a < b e b < 0, podemos juntar da seguinte forma:

a < b < 0 ( ou seja, "a" e "b" são números negativos com "a" menor que "b")

De a < b podemos subtrair b de ambos os lados o que implica em:

a - b < b - b   =>   a - b < 0

Se a e b são negativo temos que a soma de dois números negativo é negativo, ou seja a + b < 0. (a+b é um número negativo)

Se multiplicarmos a - b < 0 por a + b em ambos os lados temos:

(a - b).(a +b) < 0.(a +b)  =>  (a - b).(a + b) > 0 (o sinal de menor fica maior, pois multiplicamos por um número negativo), daí:

(a - b).(a + b) > 0  =>   a² - b² > 0  ( Vamos somar b² que é positivo em ambos os lados), daí:

a² - b² > 0  => a² - b² + b² > 0 + b²  => a² > b²

Bons estudos!!!