Question

resolva, em R, as seguintes equações exponenciais:

a)
${4}^{x} = 256$
b)
$( \sqrt[5]{3)} {}^{x + 2} = \sqrt[4]{27}$
c)
$( \frac{1}{5} ) {}^{3x} \div 25 {}^{2 + x} = 5$
d)
$4 {}^{x} - 2 {}^{x} = 12$
e)
$2 {}^{2x} - 2 \div 2 {}^{x} - 8 = 0$

f)
$3 {}^{x} + {3}^{x + 1} + {3}^{x - 1} = \frac{13}{27}$

Answer 1

a) 4ˣ = 256

(2²)ˣ = 2⁸

2²ˣ = 2⁸

Podemos igualar os expoentes.

2x = 8 ⇒ x = 4

b) (3¹/⁵)ˣ⁺² = 27¹/⁴

(3)¹/⁵⁽ˣ⁺²⁾ = (3³)¹/⁴

(3)¹/⁵⁽ˣ⁺²⁾ = (3)³/⁴

Podemos igualar os expoentes.

1/5(x + 2) = 3/4

x/5 + 2/5 = 3/4

(x + 2)/5 = 3/4

x + 2 = 5·3/4

x + 2 = 15/4

4(x + 2) = 15

4x + 8 = 15

4x = 15 - 8

4x = 7

x = 7/4

c) (1/5)³ˣ ÷ 25²⁺ˣ = 5

(5⁻¹)³ˣ ÷ (5²)²⁺ˣ = 5

(5)⁻³ˣ ÷ (5)⁴⁺²ˣ = 5

5⁻³ˣ⁻⁽⁴⁺²ˣ⁾ = 5

5⁻³ˣ⁻⁴⁻²ˣ = 5

5⁻⁵ˣ⁻⁴ = 5¹

Podemos igualar os expoentes.

- 5x - 4 = 1

- 5x = 1 + 4

- 5x = 5 ⇒ x = - 1

d) 4ˣ - 2ˣ = 12

(2²)ˣ - 2ˣ = 12

(2ˣ)² - 2ˣ = 12

Fazemos uma mudança de variável.

2ˣ = y

Logo, temos:

y² - y = 12

y² - y - 12 = 0

Resolvendo a equação do 2° grau, obtemos:

y' = 4  e  y'' = - 3

Então, temos que:

2ˣ = 4   ou  2ˣ = - 3

Como é para resolver em R, não calcularemos 2ˣ = - 3 (pois será um número irracional).

2ˣ = 2² ⇒ x = 2

e) 2²ˣ - 2 · 2ˣ - 8 = 0

(2ˣ)² - 2 · 2ˣ - 8 = 0

Fazemos uma mudança de variável.

2ˣ = y

Logo, fica:

y² - 2y - 8 = 0

Resolvendo a equação do 2° grau, temos:

y' = 4  ou  y'' = - 2

Então, temos que:

2ˣ = 4   ou   2ˣ = - 2

2ˣ = 2²        

x = 2

f) 3ˣ + 3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁻¹ = 13/27

3ˣ + 3ˣ·3 + 3ˣ÷3 = 13/27

3ˣ·(1 + 3 + 1/3) = 13/27

3ˣ·(13/3) = 13/27

3ˣ = 13/27 ÷ 13/3

3ˣ = 13/27 · 3/13

3ˣ = 3/27

3ˣ = 3/3³

3ˣ = 3¹⁻³

3ˣ = 3⁻²

x = -2