Question

Se X é a quantidade total de números naturais que podem ser formados com os algarismos 1,2 e 5 é correto afirmar que o valor de x será:

a)15
b) 27
c) 39
d)3

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{C}}$

Explicação passo-a-passo:

Simone, para determinamos a quantidade total de números naturais que podem ser formados com os dígitos 1, 2 e 5 devemos considerar três situações:

- um dígito apenas: {1, 2, 5}

- dois dígitos: {11, 12, 15, 21, 22,...}

-três dígitos: {111, 112, 115, 121, 122,...}

Isto posto, poderíamos determinarmos seguindo o raciocínio acima; no entanto, correríamos o risco de não contar algum... Desse modo, podemos aplicar o Princípio Fundamental da Contagem.

Situação I: números naturais formados com apenas um algarismo.

- decisão 1 (d1) : escolher um algarismo para ser o número natural:

$\displaystyle \boxed{\mathtt{\#d_1 = 3}}$

Situação II: números naturais formados com dois algarismos.

Sejam $\displaystyle \mathtt{p_1}$ e $\displaystyle \mathtt{p_2}$ as posições para esses números... Então,

- decisão 1 (d1) : escolher um algarismo para $\displaystyle \mathtt{p_1}$; a quantidade de algarismos que podem ser escolhidos é TRÊS, portanto, $\displaystyle \boxed{\mathtt{\#d_1 = 3}}$.

- decisão 2 (d2) : escolher um algarismo para $\displaystyle \mathtt{p_2}$; a quantidade de algarismos que podem ser escolhidos também é TRÊS, portanto, $\displaystyle \boxed{\mathtt{\#d_2 = 3}}$.

Daí, pelo PFC, teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\#d_1 \cdot \#d_2 = 3 \cdot 3 = 9}$.

Situação III: números naturais formados com três algarismos.

Sejam $\displaystyle \mathtt{p_1}$, $\displaystyle \mathtt{p_2}$ e $\displaystyle \mathtt{p_3}$ as posições para esses números... Então,

- decisão 1 (d1) : escolher um algarismo para $\displaystyle \mathtt{p_1}$; a quantidade de algarismos que podem ser escolhidos é TRÊS, portanto, $\displaystyle \boxed{\mathtt{\#d_1 = 3}}$.

- decisão 2 (d2) : escolher um algarismo para $\displaystyle \mathtt{p_2}$; a quantidade de algarismos que podem ser escolhidos também é TRÊS, portanto, $\displaystyle \boxed{\mathtt{\#d_2 = 3}}$.

- decisão 3 (d3) : escolher um algarismo para $\displaystyle \mathtt{p_3}$; a quantidade de algarismos que podem ser escolhidos também é TRÊS, portanto, $\displaystyle \boxed{\mathtt{\#d_3 = 3}}$.

De modo análogo, pelo PFC:

$\\ \displaystyle \mathsf{\#d_1 \cdot \#d_2 \cdot \#d_3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27}$.

Por fim, pelo Princípio Aditivo,

$\\ \displaystyle \mathsf{\left ( \#d_1 \right ) + \left ( \#d_1 \cdot \#d_2 \right ) + \left ( \#d_1 \cdot \#d_2 \cdot \#d_3 \right ) = 3 + 9 + 27} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\left ( \#d_1 \right ) + \left ( \#d_1 \cdot \#d_2 \right ) + \left ( \#d_1 \cdot \#d_2 \cdot \#d_3 \right ) = 39}}}$