Question

Sendo i=√-1 a unidade imaginária e dado o polinômio p(x) = x4 + 5x3 + 7x2 + 5x + 6, observe que p(i) = 0. Esse polinômio tem duas raízes reais que pertencem ao conjunto dos números
(A) naturais.
(B) irracionais positivos.
(C) racionais não inteiros e positivos.
(D) inteiros negativos.
(E) racionais não inteiros e negativos

Answer 1

p(x)=x⁴+5x³+7x²+5x+6
p(i)=0

para encontrar a próxima raiz, usarei o teorema das raízes racionais

divisores {+-1;+-2;+-3}

de cara já podemos perceber que os valores positivos nunca fará com que se anule.

{-1;-2;-3}

-1:
(-1)⁴+5(-1)³+7(-1)²+5(-1)+6=0 (falso)

-2:
(-2)⁴+5(-2)³+7(-2)²+5(-2)+6=0
16-40+28-10+6=0
-50+50=0 (verdadeiro)

a outra raiz da função é -2. fatorado e aplicando o método da chave

x⁴+5x³+7x²+5x+6 |__x+2__
x³+3x²+x+3
-x⁴-2x³
_____
3x³+7x²+5x+6
-3x³-6x²
______
x²+5x+6
-x²-2x
_______
3x+6
-3x-6
______
0

agora temos o outro polinômio
x³+3x²+x+3

vamos descobrir uma de suas raízes pelo mesmo método

divisores {+-1;+-3}
como todos os sinais são positivos
{-1;-3}

-1:
(-1)³+3(-1)²-1+3=0
-1+3-1+3=0 (falso)

-3:
(-3)³+3(-3)²-3+3=0
-27+27-3+3=0 (verdadeiro)

então já temos as raízes do polinomio inicial:
{-2;-3} são inteiros negativos

$\boxed{ \mathsf{{ - 2}} \: \: e \: { - 3}} \\ \boxed{ \mathsf{alternativa \: (d).}}$

Answer 2

As raízes são iguais a -2 e -3, logo pertencem aos números inteiros negativos.  Alternativa D.

Definindo polinômios

Os polinômios são expressões que possuem mais de um monômio, podendo ser desconhecido ou conhecido. Como conhecemos o valor de i que é uma raiz, em que p(i)=0 pode - se afirmar que se uma equação admite uma raiz complexa, então também admite o conjugado desse número como solução.

Temos que o polinômio  é $p(x) = x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 5x + 6$, onde se i  é uma raiz, -i também será uma raiz no polinômio p(x).

A raiz de i será: $i =\sqrt{-1} \to i^2=(\sqrt{-1)}^2 \to i^2=1$.

Neste caso, simplificamos o polinômio numa divisão por $x^2 + 1$, uma vez que o resto será igual a zero, então:

                                 $\frac{x^4 + 5x^3 + 7x^2 + 5x + 6}{x^2+1}= x^2 + 5x + 6$

O polinômio será igual a $p(x) = (x^2+1)*(x^2 + 5x + 6 )$ . Se igualarmos a zero o resultado da divisão temos que:

                                        $(x^2 + 5x + 6 ) = 0\\ x(x+2)+3(x+2)=0\\ (x+2)+(x+3)=0\\ S = [-2, -3]$

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