Question

Qual é a equação normal da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices M(2,3) , N(2,-1) e P(-2,-1) ?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{x^2+y^2-2y-7=0}$

Explicação passo-a-passo:

Desenvolvendo a equação reduzida da circunferência temos a equação normal da circunferência

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\ \ \ eq.\ normal\\\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0\\\\x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2 =0\ \ eq.\ reduzida$

Em um triângulo inscrito em uma circunferência, ou em uma circunferência circunscrita, os vértices do triângulo devem fazer parte da circunferência e consequentemente de sua equação, então devemos achar a,b e r tais que todos os pontos satisfaçam a equação acima

Substituindo

Ponto M(2,3)

$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2 =0\\2^2+3^2-2a*2-2b*3+a^2+b^2-r^2=0\\a^2-4a+b^2-6b+13-r^2=0$

Ponto N(2,-1)

$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2 =0\\2^2+(-1)^2-2a*2-2b*(-1)+a^2+b^2-r^2=0\\a^2-4a+b^2+2b+5-r^2=0$

Ponto P(-2,-1)

$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2 =0\\(-2)^2+(-1)^2-2a*(-2)-2b*(-1)+a^2+b^2-r^2=0\\a^2+4a+b^2+2b+5-r^2=0$

Sistema de equações 3x3

$a^2-4a+b^2-6b+13-r^2=0\\a^2-4a+b^2+2b+5-r^2=0\\a^2+4a+b^2+2b+5-r^2=0$

Utilizando o método de comparação

$a^2-4a+b^2-6b+13=r^2 \ \ \ primeira\ eq\\a^2-4a+b^2+2b+5=r^2\ \ \ segunda\ eq\\\\a^2-4a+b^2-6b+13=a^2-4a+b^2+2b+5\\8b=8\\\boxed{b=1}\\\\a^2-4a+b^2+2b=r^2-5\ \ \ segunda\ eq\\a^2+4a+b^2+2b=r^2-5\ \ \ terceira\ eq\\\\a^2-4a+b^2+2b=a^2+4a+b^2+2b\\8a=0\\\boxed{a=0}\\\\\\a^2-4a+b^2-6b+13=r^2 \ \ \ primeira\ eq\\r^2=0^2-4*0+1^2-6*1+13\\r^2=1-6+13\\\boxed{r^2=8}$

Então a equação normal da circunferência é

$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2 =0\\x^2+y^2-2x*0-2y*1+0^2+1^2-8=0\\x^2+y^2-2y+1-8=0\\\\\boxed{x^2+y^2-2y-7=0}$