Question

Um Pecuarista dispõe de 12 rolos de arame de 500 metros para cercar, com 5 fios, um terreno retangular onde será plantado uma variedade especial de capim, com vistas a prover o gado da ração na época da seca. Quais devem ser as dimensões do terreno para que se possa plantar o máximo possível de capim?

Resposta: 300m x 300m

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Se o terreno é retangular, podemos considerar o retângulo com as medidas a e b, daí

_______b_______

|                               |

a                             a

|                               |

________b______

Temos 12 rolos com 500 metros, logo 12 x 500 = 6000 metros de fio para fazer a cerca.

Mas cada lado da certa terá 5 fios, logo teremos:

5a + 5b + 5a + 5b = 6000 (ou seja, para a medida "a" são 10 fios, 5 de cada lado e para a medida "b" a mesma coisa)

10a + 10b = 6000 (dividindo a equação por 10, temos)

a + b = 600 (1)

A área do retângulo é dada por:

A = a.b     e  da equação (1) podemos tirar que: b = 600 - a, daí

A = a.(600 - a) = 600a - a² = -a²+ 600a    (2)

Observe que a equação (2) acima é uma equação do segundo grau, com coeficiente -1 no a², logo terá concavidade para baixo, ou seja, terá um valor máximo no x do vértice que é dado por, pois A = -a² + 600a pode ser comparado a y = - x² + 600x. daí:

$x_v =-\frac{b}{2a}$, onde o b = 600 e o a =-1, daí temos que:

$x_v =-\frac{b}{2a}=-\frac{600}{2.(-1)}=300$

Logo para a = 300 teremos a área máxima, e temos que b = 600 - a = 600 - 300 = 300

Logo as dimensões do terreno são a = 300 e b = 300.

OBSERVAÇÃO: Se você já estudou derivadas, consegue resolver mais facilmente esta questão a partir da  equação:

A = -a²+ 600a

Pois para encontrar o máximo dessa função, basta derivar e igualar o resultado a zero, daí:

A' = -2a + 600 = 0

-2a = -600

a = 300

E em consequência b = 600 - 300 = 300

Bons estudos!!!

Answer 2

Resposta:

   300 m de lado  (  um quadrado )

Explicação passo-a-passo:

.. Arame disponível:  12 rolos de 500 metros

.                                =  12  x  500 m  =  6.000 m   ( de fios )

.. Cerca do terreno com 5 fios

.. Perímetro do terreno:  6.000 m  :  5  =  1.200 m

.. Dimensões do terreno   retangular:  para que possa plantar

.. o máximo possível de capim, o terreno deve ter forma quadrada.

.. Como seu perímetro é 1.200 m, seus lados devem ter:

.. 1.200 m  :  4  =  300 m, isto é, um quadrado de 300 m de lado.

(Obs:  todo quadrado é, também, um retângulo)

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