Question

GENTE, me ajudem. É urgente. Preciso somente dos cálculos.

Answer 1

Exercício 15

O ponto médio de uma reta é dado pela fórmula

$p_m = \left( \dfrac{x_a + x_b}{2}, \dfrac{y_a + y_b}{2} \right)$

onde (xₐ, yₐ) e (x₆, y₆) são os pontos extremidades da reta.

A) Como as extremidades são (1, -7) e (3, -5), então:

$p_m = \left( \dfrac{x_a + x_b}{2}, \dfrac{y_a + y_b}{2} \right) = \left( \dfrac{1 + 3}{2}, \dfrac{- 7 -5}{2} \right) \\\\\\p_m = \left( \dfrac{4}{2}, \dfrac{-12}{2} \right) = (2, -6)$

B) Como as extremidades são (-1, 5) e (5, -2), então:

$p_m = \left( \dfrac{x_a + x_b}{2}, \dfrac{y_a + y_b}{2} \right) = \left( \dfrac{-1 + 5}{2}, \dfrac{5 - 2}{2} \right) \\\\\\p_m = \left( \dfrac{4}{2}, \dfrac{3}{2} \right) = (2, 1.5)$

C) Como as extremidades são (-4, -2) e (-2, -4), então:

$p_m = \left( \dfrac{x_a + x_b}{2}, \dfrac{y_a + y_b}{2} \right) = \left( \dfrac{-4 -2}{2}, \dfrac{-2 -4}{2} \right) \\\\\\p_m = \left( \dfrac{-6}{2}, \dfrac{-6}{2} \right) = (-3, -3)$

Exercicio 16

Podemos substituir o valor do ponto (3, -2) no ponto médio e o valor do ponto (-2, -2) em um dos pontos para encontrar o ponto restante.

$p_m = \left( \dfrac{x_a + x_b}{2}, \dfrac{y_a + y_b}{2} \right) \\\\\\(3, -2) = \left( \dfrac{x_a - 2}{2}, \dfrac{y_a - 2}{2} \right)$

Daí, temos que

$\begin{cases} \dfrac{x_a - 2}{2} = 3 \\\\ \dfrac{y_a - 2}{2} = -2\end{cases}$

Resolvendo a primeira equação, temos:

$\dfrac{x_a - 2}{2} = 3 \\\\x_a - 2 = 3 \cdot 2 \\\\x_a = 6 + 2 = 8$

Resolvendo a segunda equação, temos:

\dfrac{x_b - 2}{2} = -2 \\\\x_a - 2 = -2 \cdot 2 \\\\x_a = -4 + 2 = -2

Portanto, o ponto é igual a (8, -2).

Exercício 17

Para achar a altura relativa à base BC, é preciso

• calcular o ponto médio do segmento de reta BC; e
• calcular a distância do ponto médio até o ponto A.

Portanto, ao calcular o ponto médio do segmento BC de extremidades (2, 2) e (8, 2), temos:

$p_m = \left( \dfrac{x_a + x_b}{2}, \dfrac{y_a + y_b}{2} \right) = \left( \dfrac{2 + 8}{2}, \dfrac{2 + 2}{2} \right) \\\\\\p_m = \left( \dfrac{10}{2}, \dfrac{4}{2} \right) = (5, 2)$

Por fim, calculando a distância desse ponto até o ponto A de coordenadas (5, 8), temos:

$d^2 = (x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2 \\\\d^2 = (5 - 5)^2 + (8 - 2)^2 \\\\d^2 = 6^2 \\\\d = 6$

Exercício 18

Como o ponto M, de coordenadas (1, -2), é o ponto médio entre o ponto A, de coordenadas (2, 3) e o ponto C, então temos: (podemos usar o mesmo método usado no exercício 16)

$p_m = \left( \dfrac{x_a + x_b}{2}, \dfrac{y_a + y_b}{2} \right) \\\\\\(1, -2) = \left( \dfrac{x_a + 2}{2}, \dfrac{y_a + 3}{2} \right)$

Daí, temos que

$\begin{cases} \dfrac{x_a + 2}{2} = 1 \\\\ \dfrac{y_a + 3}{2} = -2\end{cases}$

Resolvendo a primeira equação, temos:

$\dfrac{x_a + 2}{2} = 1 \\\\x_a + 2 = 1 \cdot 2 \\\\x_a = 2 - 2 = 0$

Resolvendo a segunda equação, temos:

$\dfrac{y_a + 3}{2} = -2 \\\\y_a + 3 = -2 \cdot 2 \\\\y_a = -4 - 3 = -7$

Portanto, o ponto C é igual a (0, -7).

Podemos usar o mesmo método para achar o ponto D, onde o ponto M é o ponto médio entre o ponto B, de coordenadas (6, 4) e o ponto D.

$p_m = \left( \dfrac{x_a + x_b}{2}, \dfrac{y_a + y_b}{2} \right) \\\\\\(1, -2) = \left( \dfrac{x_a + 6}{2}, \dfrac{y_a + 4}{2} \right) \\\\\\ \begin{cases} \dfrac{x_a + 6}{2} = 1 \\\\ \dfrac{y_a + 4}{2} = -2\end{cases} \\\\\\ \dfrac{x_a + 6}{2} = 1 \\\\x_a + 6 = 1 \cdot 2 \\\\x_a = 2 - 6 = -4 \\\\\\ \dfrac{y_a + 4}{2} = -2 \\\\y_a + 4 = -2 \cdot 2 \\\\y_a = -4 - 4 = -8$

Portanto, o ponto D é igual a (-4, -8).