Question

Considere a função f(x) = 1/x

a) Obtenha a equação da reta que é tangente ao gráfico de f em x = 4

Answer 1

Resposta:

$y =-\frac{x}{16}+\frac{1}{2}$

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Considere a função f(x) = 1/x

a) Obtenha a equação da reta que é tangente ao gráfico de f em x = 4

A reta procurada é tangente ao gráfico de f no ponto onde x = 4, logo temos que y = f(4) = 1/4, ou seja, a reta passa pelo ponto $(x_0,y_0)=(4,\frac{1}{4})$.

Podemos fazer uso da seguinte expressão para a reta procurada:

$y - y_0=m(x-x_0)$ (1)

Onde m é a inclinação da reta dada por: $m = f'(4)$ e $(x_0,y_0)$ o ponto obtido anteriormente.

Derivando a função f, temos:

$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \Longrightarrow f'(x) = -x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\\\\m=f'(4)=-\frac{1}{4^2}=-\frac{1}{16}$

Substituindo os dados na equação (1), temos:

$y - y_0=m(x-x_0)\\\\y-\frac{1}{4}=-\frac{1}{16} (x-4)$

Multiplicando a equação por 16, temos:

$y-\frac{1}{4}=-\frac{1}{16} (x-4)\\\\16y-4=-x+4\\16y = -x+8\\y =-\frac{x}{16}+\frac{1}{2}$

Bons estudos