Question

Dê a função inversa genérica de f(x) = ax^2 + bx + c

Answer 1

Considere a função genérica:

$f(x)=ax^2+bx+c$

Queremos encontrar $f^{-1}(x)$.
Iniciaremos como fazemos para encontrar qualquer função inversa, trocaremos f(x) por y e depois substituiremos x por y e vice versa:

$y=ax^2+bx+c$
$x=ay^2+by+c$

Agora temos dois jeitos para resolver isso, um jeito chato usando Bhaskara e outro mais interessante, que por acaso é a dedução de Bhaskara. Primeiro façamos por Bhaskara.
Para utilizarmos Bhaskara devemos igualar uma expressão do segundo grau a zero. Para isso basta somente trazer o x para o outro lado:
$x=ay^2+by+c$
$ay^2+by+c-x=0$

E resolvemos Bhaskara:
OBS: -x pertence a c, pois não acompanha nenhuma incógnita y.
$y = \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4*a*(c-x)}}{2a}$

Substituindo y por f-1(x) novamente:
$f^{-1}(x)= \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4*a*(c-x)}}{2a}$

Agora a versão mais interessante. Voltamos com
$x=ay^2+by+c$
Precisamos isolar o termo y, e para isso utilizaremos quadrado da soma:
Primeiramente fica mais fácil trabalhar com com y ao quadrado que com o fator multiplicativo a anexado a ele, por isso dividiremos tudo por a:
$\dfrac{x}{a}=y^2+\dfrac{by}{a}+\dfrac{c}{a}$
encontramos um quadrado da soma entre y e um valor k tal que:
$(y+k)^2 = y^2+2ky+k^2$
$2*y*k=\dfrac{by}{a}$
Achamos nosso k:
$k=\dfrac{b}{2a}$

Somando k^2 nos dois lados da equação:

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}=y^2+\dfrac{by}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}$

$\dfrac{4ax+b^2}{4a^2}=(y+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{c}{a}$

Passando o termo c/a:

$\dfrac{4ax+b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}=(y+\dfrac{b}{2a})^2$

$\dfrac{b^2+4ax-4ac}{4a^2}=(y+\dfrac{b}{2a})^2$

$\dfrac{b^2-4a(c-x)}{4a^2}=(y+\dfrac{b}{2a})^2$

Raiz quadrada em ambos os lados:

$\dfrac{\sqrt{b^2-4a(c-x)}}{2a}=y+\dfrac{b}{2a}$

Finalmente isolando y:

$y = \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4*a*(c-x)}}{2a}$

$f^{-1}(x) = \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4*a*(c-x)}}{2a}$

Uma última observação, é possível questionar a questão do + ou - durante a fórmula de Bhaskara, essa diferenciação acontece pois, numa função quadrática possuímos dois domínios os quais resultam numa imagem ou seja, existem 2 valores em x que resultam em 1 só valor em y (exemplo, 1^2 e (-1)^2 resultam ambos em 1). Quando fazemos a função inversa, o domínio vira a imagem e vice-versa, porém, isso indicaria que um domínio resultaria em 2 imagens, o que é impossível numa função seja ela qual for, portanto, separamos em duas funções, uma em que a imagem é positiva, e outra em que a imagem é negativa, resolvendo o problema do + e -.