Question

Dentre todos os triângulos de base e altura dadas, o que tem o menor perímetro é:
a) o triângulo retângulo.
b) o triângulo isósceles.
c) o triângulo isósceles somente se a altura for maior que a base.
d) o triângulo retângulo somente se a altura for menor que a base.
e) qualquer um, pois todos os triângulos de mesma base e altura tem igual perímetro.

Answer 1

Olá Rebeca!

Resposta:

$\displaystyle \boxed{\mathtt{B}}$

Explicação passo-a-passo:

De acordo com as alternativas, analisemos os triângulos retângulo e isósceles.

→ Triângulo retângulo:

Seja $\displaystyle \mathtt{ABC}$ um triângulo retângulo em $\displaystyle \mathtt{B}$ cujos catetos são $\displaystyle \mathtt{a}$ e $\displaystyle \mathtt{c}$ e altura $\displaystyle \mathtt{h}$.

Como o triângulo é retângulo, temos que:

$\\ \displaystyle \mathtt{\bullet \qquad b^2 = a^2 + c^2 \qquad \qquad \qquad (i)} \\\\ \mathtt{\bullet \qquad b \cdot h = a \cdot c \qquad \qquad \qquad \ (ii)}$

Desenvolvendo $\displaystyle \mathtt{(i)}$,

$\\ \displaystyle \mathsf{b^2 = a^2 + c^2} \\\\ \mathsf{b^2 = (a^2 + 2ac + c^2) - 2ac} \\\\ \mathsf{b^2 = (a + c)^2 - 2ac} \\\\ \mathsf{b^2 + 2 \cdot \underbrace{\mathsf{ac}}_{(ii)} = (a + c)^2} \\\\ \mathsf{(a + c)^2 = b^2 + 2 \cdot bh} \\\\ \boxed{\mathsf{a + c} = \sqrt{\mathsf{b^2 + 2bh}}}$

Portanto, o perímetro do triângulo retângulo de base (hipotenusa) $\displaystyle \mathtt{b}$ e altura $\displaystyle \mathtt{h}$ é dado por:

$\\ \displaystyle \mathsf{2p = a + b + c} \\\\ \mathsf{2p = b + (a + c)} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{2p = b + \sqrt{b^2 + 2bh}}}}$

→ Triângulo isósceles:

Seja $\displaystyle \mathtt{CDE}$ um triângulo isósceles de lados congruentes $\displaystyle \mathtt{l}$, base $\displaystyle \mathtt{b}$ e altura $\displaystyle \mathtt{h}$.

Com efeito, temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{l^2 = \left ( \frac{b}{2} \right )^2 + h^2} \\\\\\ \mathsf{l^2 = \frac{b^2}{4} + h^2} \\\\\\ \mathsf{l^2 = \frac{b^2 + 4h^2}{4}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{l = \frac{\sqrt{b^2 + 4h^2}}{2}}}}$

Daí, o perímetro...

$\\ \displaystyle \mathsf{2p = l + l + b} \\\\ \mathsf{2p = 2l + b} \\\\ \mathsf{2p = 2 \cdot \frac{\sqrt{b^2 + 4h^2}}{2} + b} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{2p = b + \sqrt{b^2 + 4h^2}}}}$

Por fim, devemos 'decidir' qual das expressões abaixo é menor:

$\\ \displaystyle \mathtt{\bullet \qquad b + \sqrt{b^2 + 2bh} \qquad \qquad \texttt{[ret\^angulo]}} \\\\ \mathtt{\bullet \qquad b + \sqrt{b^2 + 4h^2} \qquad \qquad [is\'osceles]}$

Segue,

$\\ \displaystyle \mathtt{\bullet \qquad b + \sqrt{b^2 + 2bh} \qquad \qquad \texttt{[ret\^angulo]}} \\\\ \mathtt{\Rightarrow b + \sqrt{b^2 + 2h \cdot b}} \\\\\\ \mathtt{\bullet \qquad b + \sqrt{b^2 + 4h^2} \qquad \qquad [is\'osceles]} \\\\ \mathtt{\Rightarrow b + \sqrt{b^2 + 2h \cdot 2h}}$

Qual termo é o menor: $\dispalystyle \mathtt{b}$ ou $\dispalystyle \mathtt{2h}$??

Rebeca, para responder a essa pergunta, precisamos saber que: no triângulo retângulo, a medida base é maior ou igual ao dobro da medida da altura! Caso contrário, o triângulo não estará definido. Veja:

Considere o mesmo triângulo retângulo ABC analisado acima. Ademais, tome $\displaystyle \mathtt{b = 2x}$ e $\displaystyle \mathtt{h = x}$; ou seja, a base é o dobro da altura. Com isso, tiramos que:

$\displaystyle \begin{cases} \mathsf{bh = ac} \\ \mathsf{b^2 = a^2 + c^2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{(2x) \cdot x = ac} \\ \mathsf{(2x)^2 = a^2 + c^2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{2x^2 = ac} \\ \mathsf{4x^2 = a^2 + c^2} \end{cases}$  

 

Resolvendo o sistema,

$\displaystyle \\ \mathsf{4x^2 = a^2 + c^2} \\\\ \mathsf{4x^2 = \left ( \frac{2x^2}{c} \right )^2 + c^2} \\\\ \mathsf{4x^2c^2 = 4x^4 + c^4} \\\\ \mathsf{c^4 - 4x^2c^2 + 4x^4 = 0} \\\\ \mathsf{\Delta = (- 4x^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4x^4)} \\\\ \mathsf{\Delta = 16x^4 - 16x^4} \\\\ \boxed{\mathsf{\Delta = 0}}$

Com isso, tiramos que: se a medida da altura for maior que a metade da medida da base, então o discriminante será menor que zero; implicando na não existência dos catetos $\displaystyle \mathtt{a}$ e $\displaystyle \mathtt{c}$.

Com efeito, temos que: $\displaystyle \boxed{\mathtt{b \geq 2h}}$.

Por fim, conclui-se que:

$\displaystyle \mathsf{\bullet \qquad Se \ b = 2h, \ ent\~ao \ os \ per\'imetros \ ser\~ao \ iguais!}$

$\displaystyle \mathsf{\bullet \qquad Se \ b > 2h, \ ent\~ao \ o \ per\'imetro \ do \ tri\^angulo \ is\'osceles \ ser\'a \ menor!}$

CUIDADO com o item E, os perímetros serão iguais apenas se a medida da base for, exatamente, o dobro da altura!!