• Matéria: Matemática
  • Autor: carvalho8748
  • Perguntado 7 anos atrás

prove que o conjunto P={0,2,4,6,...} dos numeros pares é enumerável

Respostas

respondido por: DuarteME
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O conjunto dos números pares P=\{0,2,4,6,\dots\} é infinito contável se existir uma bijeção f entre P e o conjunto dos números naturais \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}.

Uma vez que os números pares correspondem aos múltiplos de 2, considera-se a bijeção f:P\to\mathbb{N} definida por f(n) = \dfrac{n}{2}. Provemos agora que f é, de facto, uma bijeção:

Por um lado, f é sobrejetiva, visto que o conjunto-imagem de P é simplesmente o conjunto dos números naturais: f(P)=\mathbb{N}.

Por outro lado, f é estritamente crescente, pois:

f(n+1)-f(n) = \dfrac{n+1}{2}-\dfrac{n}{2} = \dfrac{1}{2}>0 \iff f(n+1)>f(n).

Como tal, f é necessariamente injetiva.

Portanto, uma vez que existe a bijeção pretendida, P é, de facto, infinito contável.


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