Question

Verifique se o triângulo com vértices A (-1,2) B (3,1) e C (6,4) é retângulo

Answer 1

O enunciado nos garante que os pontos formam um triangulo, logo só precisamos verificar se dois de seus lados formam entre si um angulo de 90°.

Para isso, vamos achar os vetores AB, AC e BC e verificar dois a dois se ortogonais entre si (formam ângulo de 90°).

$\vec{AB}=B-A\\\\\vec{AB}=(3,1)-(-1,2)\\\\\vec{AB}=(3+1~,~1-2)\\\\\boxed{\vec{AB}=(4~,-1)}\\\\\\\vec{AC}=C-A\\\\\vec{AC}=(6,4)-(-1,2)\\\\\vec{AC}=(6+1~,~4-2)\\\\\boxed{\vec{AC}=(7,2)}\\\\\\\vec{BC}=C-B\\\\\vec{BC}=(6,4)-(3,1)\\\\\vec{BC}=(6-3~,~4-1)\\\\\boxed{\vec{BC}=(3,3)}$

Para dois vetores serem ortogonais entre si, seu produto escalar deve ter resultado zero, logo:

Verificar se AB e AC são ortogonais:

             $\vec{AB}.\vec{AC}=0~~?\\\\(4~,-1)~.~(7,2)\\\\4~.~7~+~(-1)~.~2\\\\28-2\\\\\boxed{26}\rightarrow \vec{AB}~e~\vec{AC}~nao~sao~ortogonais~entre~si$

Verificar se AB e BC são ortogonais:

             $\vec{AB}.\vec{BC}=0~~?\\\\(4~,-1)~.~(3,3)\\\\4~.~3~+~(-1)~.~3\\\\12-3\\\\\boxed{9}\rightarrow \vec{AB}~e~\vec{BC}~nao~sao~ortogonais~entre~si$

Verificar se AC e BC são ortogonais:

             $\vec{AC}.\vec{BC}=0~~?\\\\(7~,2)~.~(3,3)\\\\7~.~3~+~2~.~3\\\\21-6\\\\\boxed{15}\rightarrow \vec{AC}~e~\vec{BC}~nao~sao~ortogonais~entre~si$

Concluímos, portanto, que o triangulo ABC não é retangulo, ja que não possui angulos retos (90°).

Obs.: Em anexo, o triangulo em questão.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Verifique se o triângulo com vértices A (-1,2) B (3,1) e C (6,4) é retângulo:

d(a,b)=√(3+1)²+(1-2)²

d(a,b)=√(4)²+(-1)²

d(a,b)=√16+1

d(a,b)=√17

___

d(a,c)=√(6+1)²+(4-2)²

d(a,c)=√(7)²+(2)²

d(a,c)=√49+4

d(a,c)=√53

___

d(b,c)=√(6-3)²+(4-1)²

d(vc)=√(3)²+(3)²

d(b,c)=√9+9

d(b,c)=√18

____

Para que esse triângulo seja retângulo

devemos esse deverá satisfazer o teorema de Pitágoras: a²=b²+c²

___

a²=b²+c²

(√53)²=(√17)²+(√18)²

53=17+18

53≠35

Não será triângulo retângulo

Espero ter ajudado!