Question

Considere um decágono regular com o centro no ponto O cuja medida do lado é igual a 2m. Se U e V são dois vértices consecutivos deste decágono e se a bissetriz do ângulo OÛV intercepta o segmento OV no ponto W,então, a medida do perímetro do triângulo UVW é

a) (3 + raiz de 5)m
b) (3 + raiz de 3)m
c) (2 + raiz de 5)m
d) (2 + raiz de 3)m

Answer 1

A medida do perímetro do triângulo UVW é (3 + √3)m.

Corrigindo: considere um hexágono regular.

Considere a imagem abaixo.

Como um hexágono possui 6 lados, então o ângulo central mede: 360/6 = 60°.

Além disso, temos que os ângulos internos de um hexágono regular são iguais a 120°.

Assim, os ângulos OUV e OVU são iguais a 60°.

Sabemos que a bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais.

Então, os ângulos OUW e WUV são iguais a 30°.

Perceba que os triângulos OUW e WUV são retângulos, pois o ângulo W é reto.

Além disso, como o triângulo OUV é equilátero, então OU = UV = 2 m.

Utilizando o triângulo WUV, temos que:

$sen(60)=\frac{UW}{2}$

UW = √3 m

$sen(30)=\frac{WV}{2}$

WV = 1 m.

Como perímetro é igual a soma de todos os lados de uma figura, temos que o perímetro do triângulo UVW é igual a:

2P = 2 + 1 + √3

2P = 3 + √3 m.