Question

Considerando que os três primeiros termos formam uma Progressão Geométrica crescente e os três últimos formam uma Progressão Aritmética crescente da sequência numérica de quatro números (2, a, b, 20), o produto de a² . b é igual a quanto?

Answer 1

Considerando o primeiro trecho, "os três primeiros termos formam uma Progressão Geométrica crescente", podemos utilizar a razao para achar uma relação entre a e b:

$razao=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}\\\\\frac{a}{2}=\frac{b}{a}\\\\2~.~b=a~.~a\\\\\boxed{b=\frac{a^2}{2}}$

Pelo segundo trecho, "os três últimos formam uma Progressão Aritmética crescente", podemos a achar outra relação entre a e b pela razao, agora, da PA:

$razao=a_4-a_3=a_3-a_2\\\\20-b=b-a\\\\2b=20+a\\\\\boxed{b=\frac{20+a}{2}}$

Igualando as duas expressões achadas para b, acharemos os possíveis valores de a:

$\frac{a^2}{2}=\frac{20+a}{2}\\\\\\a^2=20+a\\\\\\a^2-a-20=0\\\\Bhaskara:\\\Delta=(-1)^2-4.1.(-20)=81\\\\a=\frac{1\pm\sqrt{81}}{2.1}\\\\\\a'=\frac{1+9}{2}=5\\\\a''=\frac{1-9}{2}=-4$

Podemos achar agora os dois possíveis valores de b:

$b=\frac{20+a}{2}\\\\\\b'=\frac{20+5}{2}=\frac{25}{2}=12,5\\\\b''=\frac{20+(-4)}{2}=\frac{16}{2}=8$

Qual dos pares (a,b) é o certo?

Para responder isso precisamos atentar para outra informação do texto: As progressões mencionadas são CRESCENTES.

Dessa forma, tanto a razão da PG quanto a razão da PA devem ser POSITIVAS, logo:

$razao_{_{PG}}'=\frac{b'}{a'}=\frac{12,5}{5}=\boxed{2,5}~(POSITIVA~!)\\\\\\razao_{_{PG}}''=\frac{b''}{a''}=\frac{8}{-4}=\boxed{-2}~(NEGATIVA~!)$

Assim, concluimos que os valores de a e b são, respectivamente, 5 e 12,5.

A expressão solicitada terá resultado:

a² . b = 5² . 12,5 = 312,5

RESPOSTA:  312,5