Question

A senhora Helena pretende passar 24 meses na Europa fazendo um curso de pós- graduação. Ela estima que precisará ter uma renda mensal de R$ 4.500,00 começando com a sua chegada à Europa. Para atingir seu objetivo, ela precisará aplicar um valor X, a juros compostos, à taxa de 1,6% a.m., 60 meses antes do 1º saque de R$ 4.500,00. Qual o valor de X?

Answer 1

Resposta:

RS$34.925,46 <= Valor do Capital Inicial da Aplicação (valor aproximado)

Explicação passo-a-passo:

Temos 2 tipos de aplicações:

=> Uma  capitalização durante 60 meses de um Capital Inicial a determinar

=> Uma Série Uniforme antecipada com uma PMT (mensal) de 4.500 e com um prazo de 24 meses  

...como apenas sabemos o Valor da PMT (prestação mensal) e o valor da taxa de juro das 2 aplicações (Mensal - 0,016) ...isso implica que temos de começar a resolução da "frente para trás"

..Por outras palavras temos de calcular o Valor Presente da Série Uniforme Antecipada (para o "momento" da 1ª prestação) ..e esse Valor Presente será o Montante da aplicação inicial.

Resolvendo:

Formula da Série (antecipada):

PV = PMT . { [(1 + i)ⁿ - 1] / [(1 + i)ⁿ⁻¹ . i] }

Onde

PV = Valor Presente, neste caso a determinar

PMT = Valor da prestação mensal, neste caso 4500

n = Prazo da aplicação, neste caso n = 24

i = Taxa de juro da aplicação, neste caso i = 1,6% ..ou 0,016

Substituindo:

PV = PMT . { [(1 + i)ⁿ - 1] / [(1 + i)ⁿ⁻¹ . i] }

PV = 4500 . { [(1 + 0,016)²⁴ - 1] / [(1 + 0,016)²³ . 0,016] }

PV = 4500 . { [(1,016)²⁴ - 1] / [(1,016)²³ . 0,016] }

PV = 4500 . { [(1,46368961..) - 1] / [(1,440639382..) . 0,016] }

PV = 4500 . [(0,46368961..) / (0,02305023]

PV = 4500 . (20,116485...)

PV = 90524,183  <= Valor que é simultaneamente o Valor Presente da Série Uniforme Antecipada e o Montante Final da Aplicação inicial

Agora que sabemos o Montante Final da Aplicação ...vamos calcular qual foi o seu capital inicial

Temos a fórmula:

M = C . ( 1 + i)ⁿ

Substituindo:

90524,183 = C . (1 + 0,016)⁶⁰

90524,183 = C . (1,016)⁶⁰

90524,183 = C . (2,591925276)

90524,183 / 2,591925276  = C

34925,46 = C <= Valor do Capital Inicial da Aplicação (valor aproximado)

Espero ter ajudado

Answer 2

A resposta final é R$34.925,46.

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A resolução dessa pergunta deve ser feita em duas partes, divididas por investimentos diferentes, um de 60 e outros de 24 meses. É importante destacar que o enunciado não comenta da quantidade de investimentos (eis a "pegadinha").

O primeiro investimento, de 60 meses, terá como capital um valor x que depende do segundo investimento.

O segundo investimento, de 24 meses, pode ser visto como o pagamento de uma "dívida" em 24 parcelas iguais de R$4.500. O valor inicial dessa dívida - ou seja, o valor presente - será o montante final do primeiro investimento.

Como o "pagamento das parcelas" vai acontecer logo no começo do investimento, temos uma Série Uniforme Antecipada. Para o cálculo do Valor Presente, usamos a seguinte fórmula:

$\mathsf{PV=P\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)^{n-1}\cdot i}}$

Onde:

PV: valores presente, o que queremos descobrir;

P: valor de cada parcela - ou seja, valor das retiradas, R$4.500;

i: taxa de juros, ou seja, 1,6% que equivale a 0,016;

n: tempo de investimento, ou seja, 24.

Vamos aos cálculos do valor presente.

$\mathsf{PV=P\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)^{n-1}\cdot i}}\\\\\\ \mathsf{PV=4.500\cdot\dfrac{(1+0,016)^{24}-1}{(1+0,016)^{24-1}\cdot 0,016}}\\\\\\ \mathsf{PV=4.500\cdot\dfrac{(1,016)^{24}-1}{(1,016)^{23}\cdot 0,016}}\\\\\\ \mathsf{PV=4.500\cdot\dfrac{1,4636896125...-1}{1,4406393824...\cdot 0,016}}\\\\\\ \mathsf{PV=4.500\cdot\dfrac{0,4636896125...}{0,0230502301...}}\\\\ \mathsf{PV=4.500\cdot20,1164851775...}\\\\ \mathsf{PV=90.524,1832988649...}$

Temos o valor do valor presente, que podemos arredondar para 90.524,183298865.

O segundo investimento, segunda parte da resolução, pode ser calculado a partir da fórmula para juros compostos, que segue:

$\mathsf{M=C\cdot(1+i)^n}$

Onde:

M: montante, ou seja, o valor da série, 90.524,183298865;

C: capital, x, o que desejamos saber;

i: taxa de juros, ou seja, 1,6% que equivale a 0,016;

n: tempo do primeiro investimento, ou seja, 60.

Vamos aos cálculos do capital inicial.

$\mathsf{M=C\cdot(1+i)^n}\\\\ \mathsf{90.524,183298865=C\cdot(1+0,016)^{60}}\\\\ \mathsf{90.524,183298865=C\cdot(1,016)^{60}}\\\\ \mathsf{90.524,183298865=C\cdot2,5919252760...}\\\\ \mathsf{C=\dfrac{90.524,183298865}{2,5919252760...}}\\\\ \mathsf{C=34.925,4602887186...}\\\\ \underline{\mathsf{C\approxeq34.925,46}}$

A resposta final é R$34.925,46.

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Para fins de demonstração, adicionei em anexo uma imagem que mostra o saldo do investimento antes de cada saque. Seguindo a lógica de "dívida", a imagem representa a quantidade que faltava para "pagar".