Question

[UEL – 2011] Uma pista de corrida de 400 m é constituída por trechos retos e semicirculares, conforme a figura 13 a seguir:

Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se mantenham na parte mais interna de suas raias, de modo a percorrerem a menor distância nas curvas, e que a distância medida a partir da parte interna da raia 1 até a parte interna da raia 8 seja de 8 m.

Para que ambos percorram 400 m, quantos metros o atleta da raia mais externa deve partir à frente do atleta da raia mais interna?

Dado: π = 3,14

a) 10,00 m
b) 25,12 m
c) 32,46 m
d) 50,24 m
e) 100,48 m

Favor responder detalhadamente passo a passo, de forma clara e organizada. Obrigado.

Answer 1

A resposta está na alternativa D, 50,24 m.

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Para pensar nessa questão é interessante ser feita uma representação gráfica da pista de corrida, mesmo que seja sem as raias. Adicionei em anexo uma representação possível.

A pista pode ser pensada como um círculo de raio igual a 36,70 m e um retângulo, com dois lados iguais a 84,76 cada. As raias, que envolvem a pista, aumentam o comprimento do círculo (não do retângulo) em 1 metro nos locais pelos quais devem passar os corredores (esse valor pode ser obtido dividindo 8 metros pelas 8 raias).

Para pensar no aumento que as raias proporcionam, adicionei em anexo uma outra representação gráfica que denota que as raias aumentam o perímetro do círculo.

Para saber quantos metros o atleta da raia mais externa deve partir à frente do atleta da raia mais interna, devemos conhecer o perímetro da raia onde esses atletas correm e saber a diferença entre elas. Para isso, devemos usar a fórmula para calcular o perímetro do círculo e depois somar o dobro de 84,76 (referente ao retângulo). Teremos:

$\mathsf{P_{raia~n}=P_{\bigcirc}+2\cdot84,76}\\\\ \mathsf{P_{raia~n}=\left(2\cdot\pi\cdot r_n\right)+2\cdot84,76}\\\\ \mathsf{P_{raia~n}=\left(2\cdot3,14\cdot r_n\right)+169,52}\\\\ \mathsf{P_{raia~n}=\left(6,28\cdot r_n\right)+169,52}$

$\mathsf{r_n}$ representa o raio da círculo do corredor de raia n (pode ser 1, 2, ..., 7, 8).

• Atleta da raia mais interna

O raio do corredor de raia mais interna será o raio do círculo sem acréscimos, pois o enunciado nos deu que os atletas sempre ficam na parte mais interna de suas raias. Teremos o seguinte perímetro:

$\mathsf{P_{raia~n}=\left(6,28\cdot r_n\right)+169,52}\\\\ \mathsf{P_{raia~1}=\left(6,28\cdot36,70\right)+169,52}\\\\ \mathsf{P_{raia~1}=\left(230,476\right)+169,52}\\\\ \mathsf{P_{raia~1}=399,996}$

• Atleta da raia mais externa

O raio do corredor de raia mais externa será o raio do círculo mais 8, ou seja, será 44,70. Calculando, teremos:

$\mathsf{P_{raia~n}=\left(6,28\cdot r_n\right)+169,52}\\\\ \mathsf{P_{raia~8}=\left(6,28\cdot44,70\right)+169,52}\\\\ \mathsf{P_{raia~8}=\left(238,476\right)+169,52}\\\\ \mathsf{P_{raia~8}=450,236}$

• Diferença entre a posição dos atletas

Para descobrir o a diferença entre os dois atletas basta uma subtração simples entre os valores obtidos acima. Teremos:

$\mathsf{Dif.=450,236-399,996}\\\\</p><p>\underline{\mathsf{Dif.=50,24}}$

A resposta está na alternativa D.

Answer 2

O atleta da raia mais externa deverá partir 50,24 metros à frente do atleta da raia mais interna. Alternativa d.

Comprimento do semicírculo

O semicírculo é correspondente à metade de um círculo e, consequentemente, o comprimento de um semicírculo é equivalente a metade do comprimento de um círculo que possua o mesmo raio.

Esse comprimento pode ser calculado a partir da fórmula:

$C=\pi *r$

Da figura em questão, é possível notar que a pista é formada por dois semicírculos e duas retas.

O raio do semicírculo é definido pela medida da borda circular da raia onde se encontra o atleta até o centro de curvatura desse semicírculo.

Observando a figura, para o corredor da raia 8, o raio do semicírculo é equivalente a soma da espessura da pista (8 metros) e a medida de 36,70 metros. Logo, o raio é:

r = 8m + 36,70m = 44,70m

Já para o corredor da raia 1, que é a raia mais interna, o comprimento da pista mede 400 metros.

Para o atleta da raia 8, a distância percorrida será:

D = $\pi *r+L+\pi *r+L$

Em que r representa o raio do semicírculo e L representa o comprimento da parte reta da pista (84,76m). Assim, a distância percorrida pelo atleta da raia 8 é:

$D=\pi *44,70+84,76+44,70*\pi +84,76=3,14*44,70+84,76+3,14*44,70+84,76=450,236$

Logo, a distância entre o atleta da raia 1 e da raia 8 é:

450,236m - 400m = 50,236 m

Ou seja, o atleta da raia mais externa deve largar, aproximadamente, 50,24 metros à frente do corredor da raia mais interna. Alternativa d.

Aprenda mais sobre círculos e semicírculos em:

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