Question

considere todos os números naturais de cinco algarismos distintos formados por 1 2 3 4 5.Escrevendo os números em ordem crescente,qual é a ordem do número 34512?

Answer 1

Bom, vamos lá!

Se trata de permutação simples (Pn = n!), mas com uma pequena diferença, pois não podemos permutar todos os elementos, sempre um ou mais, dependendo de quando estiver chegando no número, terá que ser fixo.

Como o enunciado quer a posição do número 34512, nós devemos fazer a permutação de todos os números que antecedem a ele. Como a própria questão pede para que a ordem seja crescente, poderia ser decrescente também, devemos atender a isso. Iremos começar pelo algarismo 1 (no qual ele será fixo e terá uma permutação de 4 elementos (2,3,4 e 5 vão permutar entre si).

$1 \ \_\_\_ \ \_\_\_ \ \_\_\_ \ \_\_\_ = P_4 = 4! = 4*3*2*1 = \boxed{24}$

Com esse resultado acima, temos 24 números começados pelo algarismo 1.

Agora iremos contar quantos números existem começados pelo algarismo 2.

$2 \ \_\_\_ \ \_\_\_ \ \_\_\_ \ \_\_\_ = P_4 = 4! = 4*3*2*1 = \boxed{24}$

Também existem 24 números começados pelo algarismo 2.

Agora já na parte abaixo, iremos deixar o algarismo 3 fixo e contar quantos números começam por 3. Mas aqui temos que ter cuidado, se apenas começarmos com o algarismo 3 fixo e permutar os outros algarismos nós iremos contar todos os números que existem começado por 3, inclusive os números maiores que 34512. Como a questão quer a ordem do número citado anteriormente, devemos começar com o número 31 como fixo, pois teremos a certeza que o número formado por 31 ___ ___ ___ serão menores que 34512.

Resolvendo:

$31 \ \_\_\_ \ \_\_\_ \ \_\_\_ \ = P_3 = 3! = 3*2*1 = \boxed{6}$

Agora iremos achar quantos números existem começados por 32, já que também serão menores que 34512.

$32 \ \_\_\_ \ \_\_\_ \ \_\_\_ \ = P_3 = 3! = 3*2*1 = \boxed{6}$

Colocando o número 341 como fixo:

$341 \ \_\_\_ \ \_\_\_ \ = P_2 = 2! = 2*1 = \boxed{2}$

Começados por 342 fixo:

$342 \ \_\_\_ \ \_\_\_ \ = P_2 = 2! = 2*1 = \boxed{2}$

Agora iremos ter o que queremos, que são os começados por 345. Aqui nós já teremos a resposta, pois se permutamos 2 elementos, nós iremos pegar um número maior do que 34512, que é o 34521, e não é o que queremos.

Para obter a posição do número 34512 é só somar os valores que estão na caixa e depois somar mais um, pois não estamos contando com a posição do próprio número que foi pedido.

$P = 24+24+6+6+2+2+1 \\ \boxed{P_3_4_5_1_2 = 65\º}$

******** constando que a posição está certa ********

34215: Posição 63;

34251: Posição 64;

34512: Posição 65.

Abraços!