Question

determine o valor de k na equação
$2x ^{2} - 4x + 5k = 0$
para que as raizes:

a) sejam reais e iguais
b) sejam reais e distintas
c) sejam reais
d) nao sejam reais​

Answer 1

As variações das raízes estão diretamente ligadas com o valor do discriminante (delta).

$\begin{cases} \mathtt{\Delta=0\longrightarrow1~raiz~ou~duas~ra\acute{i}zes~reais~iguais}\\\\ \mathtt{\Delta>0\longrightarrow2~ra\acute{i}zes~reais~diferentes}\\\\ \mathtt{\Delta<0\longrightarrow2~ra\acute{i}zes~complexas~diferentes} \end{cases}$

Com base no que foi exposto acima, podemos descobrir o valor de k manipulando o discriminante. Para facilitar irei usar a seguinte igualdade:

$\mathtt{\Delta=b^2-4\times a\times c}\\\\ \mathtt{\Delta=4^2-4\times2\times5k}\\\\ \mathtt{\Delta=16-40k}\\\\ \mathtt{\Delta=8(2-5k)}$

• raízes que sejam reais e iguais.

O discriminante tem que ser igual a 0. Logo:

$\mathtt{\Delta=0}\\\\ \mathtt{8(2-5k)=0}\\\\ \mathtt{2-5k=\dfrac{0}{8}}\\\\ \mathtt{2-5k=0}\\\\ \mathtt{k=\dfrac{-2}{-5}=\dfrac{2}{5}}$

• raízes que sejam reais e distintas.

O discriminante tem que ser maior que 0. Logo:

$\mathtt{\Delta>0}\\\\ \mathtt{8(2-5k)>0}\\\\ \mathtt{2-5k>\dfrac{0}{8}}\\\\ \mathtt{2-5k>0}\\\\ \mathtt{k>\dfrac{-2}{-5}}\\\\\mathtt{k>\dfrac{2}{5}}$

• raízes que sejam reais.

Pode deduzir que esse caso é o mesmo dos dois anteriores juntos, então:

$\mathtt{\Delta\geq0}\\\\ \mathtt{8(2-5k)\geq0}\\\\ \mathtt{2-5k\geq\dfrac{0}{8}}\\\\ \mathtt{2-5k\geq0}\\\\ \mathtt{k\geq\dfrac{-2}{-5}}\\\\\mathtt{k\geq\dfrac{2}{5}}$

• raízes que não sejam reais.

O discriminante tem que ser menor que 0 - pois nesse caso as raízes complexas não são reais. Logo:

$\mathtt{\Delta<0}\\\\ \mathtt{8(2-5k)<0}\\\\ \mathtt{2-5k<\dfrac{0}{8}}\\\\ \mathtt{2-5k<0}\\\\ \mathtt{k<\dfrac{-2}{-5}}\\\\\mathtt{k<\dfrac{2}{5}}$