Question

determine a função f(x) cuja tangente tem uma inclinação 3x² + 1 para qualquer valor de x e cuja a curva passa pelo (2,6)ponto

Answer 1

Se você deriva uma função f(x), o resultado é uma equação que dá o coeficiente das retas tangentes aos pontos do gráfico de f(x). Por exemplo, se você tem f(x) = x² + 1, derivando essa equação temos f(x)' = 2x. Agora, queremos saber qual o coeficiente da reta tangente à f(x) no ponto x = 1.....saberemos isso substituindo na equação da derivada: f'(1) = 2 . 1 = 2. 
Logo, o coeficiente da reta tangente vai ser 2.

Sendo assim, repare que na questão ele quer exatamente o contrário....ele te dá a equação da derivada, e quer a função que deu origem à essa derivada. Conseguimos isso fazendo a integral:

$\int\limits {(3x^2+1)} \, dx =x^3+x+C$ onde C é uma constante

Acharemos a constante C substituindo o ponto (2, 6) na equação:

$2^3+2+C=6--\ \textgreater \ C=-4$