Question

Considere as seguintes afirmações: 1) Se dois triângulos tem a mesma altura relativa a um lado comum, então eles são congruentes. 2) Se dois triângulos semelhantes tem a mesma área, então eles são congruentes. 3) Em um triângulo equilátero, o ângulo agudo formado pela altura relativa a um lado e a mediana relativa a outro lado mede 60°. Podemos afirmar que: a)I, II, e III são verdadeiras. b) I e III são falsas. c) II e III são verdadeiras. d) apenas III é falsa.

Answer 1

1. Falsa. Suponha o vértice oposto ao lado comum pertencendo a uma paralela ao lado comum. A distância o vértice ao lado comum é a altura do triângulo. A área de todos os triângulos assim formados será a mesma, mas eles não serão congruentes, pois à medida em que o vértice se desloca sobre a paralela, os ângulos e os lados adjacentes ao lado comum vão mudando de tamanho, o que torna a afirmativa falsa.
2. Verdadeira. Como vimos acima, para os dois triângulos tenham a mesma área, é necessário que o vértice oposto a um lado comum se desloque sobre uma paralela a este lado, o que faz com que a área do triângulo não se altere. Como os triângulos são semelhantes, os seus ângulos tem que ser iguais, o que possibilita uma única posição para o vértice sobre a paralela. Se existe uma única posição para este vértice, então os dois triângulo são congruentes, pois além dos seus ângulos, também seus lados serão iguais.
3. Verdadeira. Como o triângulo é equilátero, a altura, a mediana e a mediatriz são coincidentes. Consideremos um triângulo ABC e, nele, os pontos médios dos lados BC e AC, aos quais vamos chamar respectivamente de Ma e Mb. Ao ponto de encontro dos segmentos AMa e BMb vamos chamar de G. Se considerarmos o triângulo BGMa, veremos que o ângulo MaBG mede 30º, pois BG é bissetriz do ângulo CBA. Veremos ainda que o ângulo BMaG mede 90º, pois AMa é perpendicular ao lado BC.
Assim, o ângulo BGMa mede 180º - 30º - 90º, ou seja, mede 60º. Como BG e GMa são ao mesmo tempo bissetrizes, medianas e alturas do triângulo ABC, fica comprovada a veracidade da afirmação contida no enunciado.
Assim, a alternativa correta é a alternativa c) II e III são verdadeiras.