Respostas
Resposta:
O número é 55
Explicação passo-a-passo:
Sendo D o dividendo e d do divisor , temos :
O quociente é igual ao divisor → q=d
O resto é o maior possível logo r= d-1
Então : D=d*q+r⇒ D=d*d+d-1 ⇒D= [d*d+d]-1 ⇒D= [d*(d+1)]-1
Vamos testar alguns valores para d :
d=5⇒5*6-1=29
d=6⇒6*7-1=41
d=7⇒7*8-1=55 [ letra c ] ⇒resposta: 55
d=8⇒8*9-1=71
d=9⇒9*10-1=89
Vamos lá.
Veja, Laury, que a resolução parece mais ou menos simples.Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se que, numa divisão entre dois números naturais, o divisor (d) e o quociente (q) são iguais e o resto (R) é o maior possível. Dadas essas informações pede-se para informar, entre vários números dados, aquele que poderia ser o Dividendo dessa operação.
ii) Antes veja que: em toda divisão isto ocorre:
D = d*q + R . (I).
Na expressão acima, temos que "D" é o dividendo, "d" é o divisor, "q" é o quociente e "R" é o resto.
Agora observe uma coisa: como o divisor é igual ao quociente, então teremos que d = q; e como o resto é o maior possível, então ele será uma unidade menor que o divisor. O resto será, portanto, R = d-1. Assim, vamos fazer as devidas substituições na nossa expressão (I) acima, ficando assim:
D = d*d + d-1 ---- desenvolvendo, teremos:
D = d² + d-1 ---- passando "D" para o 2º membro, teremos:
0 = d² + d-1 - D ------- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:
d² + d - 1-D = 0 ---- agora vamos aplicar a fórmula de Bháskara para encontrarmos as raízes dessa equação do 2º grau em "d". A propósito, note que os coeficientes da equação acima são estes: a = 1 --- (é o coeficiente de d²); b = 1 ---- (é o coeficiente de d); c = -1-D --- (é o coeficiente do termo independente).
d = [-b ± √(Δ)]/2a ----- sendo Δ = b²-4ac. Assim, fazendo essas substituições, teremos;
d = [-b ± √(b²-4ac)]/2a ---- fazendo as devidas substituições (vide coeficientes), teremos:
d = [-1 ± √((-1)² - 4*(-1-D)]/2*1 ---- desenvolvendo, teremos:
d = [-1 ± √(1 + 4 + 4D)]/2 ------ continuando o desenvolvimento, temos:
d = [-1 ± √(5 + 4D)]/2 . (II).
iii) Agora veja: o valor que deveremos encontrar para "d" (que é o divisor) na nossa expressão (II) acima deverá ser tal que tenhamos uma raiz quadrada exata e, além disso, que resulte num número natural (lembre-se que os números naturais são: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6........)
Veja: dos números dados como possíveis dividendos, que são:
a) 35; b) 43; c) 55; d)73; e) 91 , o único que satisfaz ao que pede a sua questão é o número dado na opção "c", que é o dividendo ser igual a "55". Veja como é verdade. Vamos na expressão (II) e vamos substituir o "D" por "55" e você vai ver que ele vai satisfazer as condições exigidas. Assim, repetindo a expressão (II), teremos:
d = [-1 ± √(5 + 4D)]/2 ---- substituindo "D" por "55", teremos:
d = [-1 ± √(5 + 4*55)]/2 ----- desenvolvendo, temos:
d = [-1 ± √(5 + 220)]/2 ----- continuando o desenvolvimento, temos;
d = [-1 ± √(225)]/2 ----- como √(225) = 15, teremos:
d = [-1 ± 15]/2 ------ daqui você já conclui que:
d' = [-1 - 15]/2 = -16/2 = - 8 <--- raiz descartada, pois "-8" não é natural;
e
d'' = [-1 + 15]/2 = 14/2 = 7 <--- raiz válida, pois "7" é natural.
iv) Assim, simplificando, temos que o único número, dentre as opções dadas, que satisfaz às condições exigidas, é o número "55", que resulta em termos um divisor natural (d = 7). Assim, a resposta será:
55 <--- Esta é a resposta. Opção "c". Ou seja, este é o único número que satisfaz às condições exigidas para que "d" seja um número natural. Note que nenhum outro número satisfaz. Apenas o da opção "c".
E realmente, veja que se você tomar o dividendo (D = 55) e dividi-lo pelo natural "7" vai encontrar que o quociente também será igual a "7" e o resto é o maior possível, pois vai ser igual ao valor do divisor menos uma unidade. Veja:
D = d*q + R ------- fazendo as devidas substituições, teremos;
D = 7*7 + 6
D = 49 + 6
D = 55
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.