Question

Dados a,b,q e p números reais,então (ap-bq)2 + (aq+bp)2=(a2+b2)(p2+q2).Qual a identidade que teremos,se,na igualdade acima,fizermos p=a e q=b

Answer 1

Se na igualdade acima fizermos p = a e q = b, obteremos a identidade (a² + b²)².

É válido lembrar que:

O quadrado da soma é definido por: (x + y)² = x² + 2xy + y².

O quadrado da diferença é definido por: (x - y)² = x² - 2xy + y².

Considerando que p = a e q = b, vamos substituir na igualdade (ap - bq)² + (aq + bp)² = (a² + b²)(p² + q²).

Daí,

(ap - bq)² + (aq + bp)² = (aa - bb)² + (ab + ab)² = (a² - b²)² + (2ab)² = (a²)² - 2a²b² + (b²)² + 4a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ = (a² + b²)².

Podemos verificar se a identidade encontrada acima está correta substituindo p e q em (a² + b²)(p² + q)².

De fato:

(a² + b²)(p² + q²) = (a² + b²)(a² + b)² = (a² + b²)².