Question

Considere a sequência (an) tal que an= 2n+7/3 para qualquer número natural não nulo n. Essa é uma PA? Justifique

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Answer 1

Para uma sequencia poder ser considerada uma PA, sua razão deve ser mantida constante.

A razão da PA é calculada pela subtração de um termo pelo seu antecessor, ou seja:

$razao=a_{n+1}-a_{n}$

Sendo assim, podemos utilizar dois pares de termos genéricos e verificar se a razão se mantém constante.

Vamos então utilizar os termos de posições: (n = x), (n = x+1), (n = x+2) e         (n = x+3).

Estes termos serão:

n = x:

          $a_x=2.(x)+\frac{7}{3}\\\\\boxed{a_x=2x+\frac{7}{3}}$

n = x+1:

          $a_{x+1}=2.(x+1)+\frac{7}{3}\\\\a_{x+1}=2x+2+\frac{7}{3}\\\\\boxed{a_{x+1}=2x+\frac{13}{3}}$

n = x+2:

          $a_{x+2}=2.(x+2)+\frac{7}{3}\\\\a_{x+2}=2x+4+\frac{7}{3}\\\\\boxed{a_{x+2}=2x+\frac{19}{3}}$

n = x+3:

          $a_{x+3}=2.(x+3)+\frac{7}{3}\\\\a_{x+3}=2x+6+\frac{7}{3}\\\\\boxed{a_{x+3}=2x+\frac{25}{3}}$

Vamos agora calcular a razão entre os termos sucessivos n=x e n=x+1 e entre os sucessivos n=x+2 e n=x+3:

Razão pelos termos n=x e n=x+1:

          $razao=a_{x+1}-a_x\\\\razao=(2x+\frac{13}{3})-(2x+\frac{7}{3})\\\\razao=2x-2x+\frac{13}{3}-\frac{7}{3}\\\\razao=\frac{6}{3}\\\\\boxed{razao=2}$

Razão pelos termos n=x+2 e n=x+3:

          $razao=a_{x+3}-a_{x+2}\\\\razao=(2x+\frac{25}{3})-(2x+\frac{19}{3})\\\\razao=2x-2x+\frac{25}{3}-\frac{19}{3}\\\\razao=\frac{6}{3}\\\\\boxed{razao=2}$

Como a razão se manteve constante (razao = 2), concluimos que a sequencia é uma PA.