Question

Mostre pelo Princípio da Indução Matemática que:

(a) 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + ··· + n(n + 2) = n(n + 1)(2n + 7) 6
para todo número natural n ≥ 1.

(b) n3 − n é divisível por 3 para todo número natural n ≥ 2.

Answer 1

As demonstrações de que $1.3+2.4+3.5+...+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$, ∀ n ∈ IN, n ≥ 1 e de que n³ - n é divisível por 3, ∀ n ∈ IN, n ≥ 2 estão abaixo.

a) P[n] é $1.3+2.4+3.5+...+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$, ∀ n ∈ IN, n ≥ 1.

Quando n = 1, tem-se que 1(1 + 2) = 3 e $\frac{1(1+1)(2.1+7)}{6} = 3$.

Portanto, P[1] é válida.

Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário fixado, n ≥ 1. Ou seja, suponha que vale $1.3+2.4+3.5+...+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$. Deve-se provar que $1.3+2.4+3.5+...+n(n+2) + (n + 1)(n + 3)=\frac{(n+1)(n+2)(2n+9)}{6}$, isto é, que P[n + 1] é verdade:

$1.3+2.4+3.5+...+n(n+2) + (n + 1)(n + 3) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}+(n+1)(n+3)$

$1.3+2.4+3.5+...+n(n+2) + (n + 1)(n + 3) = \frac{n(n+1)(2n+7)+6(n+1)(n+3)}{6}$

$1.3+2.4+3.5+...+n(n+2) + (n + 1)(n + 3)=\frac{(n+1)(n(2n+7)+6(n+3))}{6}$

$1.3+2.4+3.5+...+n(n+2) + (n + 1)(n + 3)=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6n+18)}{6}$

$1.3+2.4+3.5+...+n(n+2) + (n + 1)(n + 3) = \frac{(n+1)(2n^2+13n+18)}{6}$

$1.3+2.4+3.5+...+n(n+2) + (n + 1)(n + 3)=\frac{(n+1)(n+2)(2n+9)}{6}$

Portanto, P[n + 1] é válida. Como o natural n inicial era arbitrário, provou-se então que para todo n ∈ IN, n ≥ 1, P[n] ⇒ P[n+1].

Logo, pelas etapas acima e pelo PIM, tem-se que P[n] é válida para todo natural n, n ≥ 1.

b) P[n] é n³ - n é divisível por 3, ∀ n ∈ IN, n ≥ 2.

Quando n = 2, tem-se que 2³ - 2 = 6 e 6 é divisível por 3.

Portanto, P[1] é válida.

Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário, n ≥ 2. Ou seja, suponha que vale n³ - n é divisível por 3. Deve-se provar que (n + 1)³ - (n + 1) é divisível por 3, isto é, que P[n + 1] é verdade:

(n + 1)³ - (n + 1) = n³ + 3n² + 3n + 1 - n - 1 = n³ + 3n² + 2n = n³ - n + 3n + 3n² = (n³ - n) + 3(n + n²)

Pela hipótese, n³ - n é divisível por 3. Além disso, 3(n + n²) também é divisível por 3.

Portanto, P[n + 1] é válida. Como o natural n inicial era arbitrário, provou-se então que para todo n ≥ 2, P[n] ⇒ P[n+1].

Logo, pelas etapas acima e pelo PIM, tem-se que P[n] é válida para todo natural n, n ≥ 2.