Question

Nos cálculos de integrais duplas, os limites de integração definem uma região D no plano XY. Essa região pode equivaler a um retângulo quando os limites são numéricos ou podem corresponder a outras figuras geométricas quando os limites de integração variam na forma de uma função. Avalie as integrais e as regiões definidas abaixo:


Sobre essas informações afirma-se:

I – A integral “I1” calculada na REGI ÃO I é igual a 6.

II – A integral “I1” calculada na REGIÃO II é igual a 1 /12.

III – A integral “I2” calculada na REGIÃO I é igual a 9.

IV – A integral “I2” calculada na REGIÃO II é igual a 1 /4.


A- Apenas II, III e IV.

B- Apenas I, II e III.

C- Apenas I e III.

D- Apenas II e IV.

E- I, II, III e IV.


Por favor, podem me ajudar ?

Answer 1

A região I está definida nos seguintes intervalos: 0 < x < 3 e 0 < y < 2 e a região II está definida nos seguintes intervalos: 0 < x < 1 e 0 < y < x². Sabendo disso, podemos calcular as integrais:

I. A integral I1 calculada na região I é:

$I1 = \int\limits^3_0 {\int\limits^2_0 {xy} \, dy } \, dx \\\\\int\limits^2_0 {xy} \, dy } = x\dfrac{y^2}{2} |_0^2 = x\dfrac{2^2}{2} - x\dfrac{0^2}{2} = 2x\\\\I1 = \int\limits^3_0 {2x} \, dx = \dfrac{2x^2}{2} |_0^3 = 3^2 - 0^2 = 9$

II. A integral I1 calculada na região II é:

$I1 = \int\limits^1_0 {\int\limits^{x^2}_0 {xy} \, dy } \, dx \\\\\int\limits^{x^2}_0 {xy} \, dy } = x\dfrac{y^2}{2} |_0^{x^2} = x\dfrac{(x^2)^2}{2} - x\dfrac{0^2}{2} = \dfrac{x^5}{2} \\\\I1 = \int\limits^1_0 {\dfrac{x^5}{2} } \, dx = \dfrac{x^6}{12} |_0^1 = \dfrac{1}{12}$

III. A integral I2 calculada na região I é:

$I2 = \int\limits^3_0 {\int\limits^2_0 {x} \, dy } \, dx \\\\\int\limits^2_0 {x} \, dy } = xy |_0^2 = x.2 - x.0 = 2x\\\\I2 = \int\limits^3_0 {2x} \, dx = \dfrac{2x^2}{2} |_0^3 = 3^2 - 0^2 = 9$

IV. A integral I2 calculada na região II é:

$I2 = \int\limits^1_0 {\int\limits^{x^2}_0 {x} \, dy } \, dx \\\\\int\limits^{x^2}_0 {x} \, dy } = xy |_0^{x^2} = x.x^2 - x.0 = x^3\\\\I2 = \int\limits^1_0 {x^3} \, dx = \dfrac{x^4}{4} |_0^1 = \dfrac{1}{4}$

Portanto, apenas as afirmações II, III e IV estão corretas.

Resposta: A

Answer 2

Resposta:

Alternativa 1:

Apenas II, III e IV.

Explicação passo-a-passo: