Question

dado o sistema
x+y=2
my+z=1
x-y=m

a) É incompatível se m=0
b) Apresenta uma unica solução, qualquer que seja o valor de m.
c) É indeterminado se m= -1
d)Apresenta infinitas soluções para algum valor de m.

Answer 1

Apresenta uma única solução, qualquer que seja o valor de m.

Vamos escrever o sistema dado na forma de matriz aumentada e realizar operações entre as linhas: $\left[\begin{array}{ccc}1&1&0|2\\0&m&1|1\\1&-1&0|m\end{array}\right]$.

Fazendo L3 ← L3 - L1:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&0|2\\0&m&1|1\\0&-2&0|m-2\end{array}\right]$.

Fazendo L2 ← 2L2  e L3 ← mL3:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&0|2\\0&2m&2|2\\0&-2m&0|m^2-2m\end{array}\right]$.

Fazendo L3 ← L3 + L2:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&0|2\\0&2m&2|2\\0&0&2|m^2-2m+2\end{array}\right]$.

Observe a última linha. Para que o sistema:

Seja compatível e determinado, temos que ter m² - 2m + 2 ≠ 0;

Seja compatível e indeterminado, temos que ter 2 = 0 e m² - 2m + 2 = 0;

Seja incompatível, temos que ter 2 = 0 e m² - 2m + 2 ≠ 0.

Podemos observar que apenas a primeira condição é verdadeira. Portanto, o sistema possui uma única solução.