Question

Uma progressão aritmética (PA) possui
17 termos, todos positivos. A diferença entre o maior
termo (a17) e o menor termo (a1) dessa PA é igual a 48.
Sabendo que, dentre os números primos que ocorrem
nessa PA, 13 é o menor e 43 é o maior, o valor de a1 +
a17 é

Answer 1

Como diria Jack, o Estripador: "vamos por partes..."  ;-)

Relembrando, as duas fórmulas da PA são:

$a_{n}$ = $a_{1}$ + (n-1) . r

onde:

$a_{1}$ é o primeiro termo da PA

$a_{n}$ é o último termo da PA

n é o número de termos da PA

r é a razão de progressão da PA

e

S = (a1 + an) . n / 2

onde:

S é a soma dos termos da PA

$a_{1}$ é o primeiro termo da PA

$a_{n}$ é o último termo da PA

n é o número de termos da PA

São dados do problema:

n = 17

$a_{17}$ - $a_{1}$ = 48

O menor número primo da PA é o 13

O maior número primo da PA é 43

$a_{1}$ + $a_{17}$ = ?

Ou seja, precisamos descobrir quem são o primeiro ($a_{1}$) e  o último ($a_{17}$) termos desta PA. Se soubermos quem eles são, saberemos qual a sua soma.

Continuemos...

Observando os dados fornecidos e as fórmulas, percebemos que é possível determinar o valor da razão de progressão r, da seguinte forma:

$a_{n}$ = $a_{1}$ + (n-1) . r

$a_{n}$ - $a_{1}$ = (n-1) . r

48 = (17-1) . r

48 = 16 . r

r = 48 / 16

r = 3

Esta informação é MUITO importante porque ela nos diz que caminhamos nesta PA andando de três em três.

Outro dado importante é o fato de sabermos que o menor primo é o 13 e o maior o 43.

Por quê?

Sabemos que o intervalo entre 13 e 43 (isto é, 43 - 13) é 30, ou seja, se o 13 for o primeiro número da PA o 43 será o 11º e,  portanto, existirão mais seis termos depois dele (esta PA tem 17 números, lembra-se?)

Neste ponto podemos fazer algumas experiências, brincando com o que já temos e tentando achar a nossa PA.

Vejamos:

Sabemos que, de duas uma: ou a PA começa no 13 ou antes dele, nunca depois. (Certo?)

Se começasse no 13, teria que ser algo do tipo:

{13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61}

Certo?

ERRADO!

Nesta PA o maior primo é o 61 e o enunciado diz que o maior primo é o 43.

Portanto, não pode começar no 13. Tem que ser antes dele.

Quanto antes?

Quanto é 13 - 3?

{10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58}

Ôpa! Demos sorte. ;-)

Achamos a nossa PA na segunda tentativa!

Ela tem 17 termos (confere!)

A diferença entre o primeiro e o último é 58 - 10 = 48 (confere!)

13 é o menor primo e 43 é o maior (confere!)

Portanto, só resta calcular a soma do primeiro mais o último, que é o que está sendo pedido:

$a_{1}$ + $a_{17}$ = 10 + 58 = 68

Resposta: 68.

;-)