Question

Na progressão aritmética (a1, a2, a3 ...) tem-se a5 - a3 = 4 e a1 + a3 = 10. Determine a P.A.

Answer 1

Vamos começar colocando todos termos (a2, a3, a5) em função de a1 utilizando para isso a equação do termo geral da PA, acompanhe:

$\boxed{a_n=a_1+(n-1).r}\\\\\\a_2=a_1+(2-1).r\\\\\boxed{a_2=a_1+r}\\\\\\a_3=a_1+(3-1).r\\\\\boxed{a_3=a_1+2r}\\\\\\a_5=a_1+(5-1).r\\\\\boxed{a_5=a_1+4r}$

Substituindo agora estas expressões nas equações dadas no enunciado:

$a_5-a_3=4\\\\(a_1+4r)-(a_1+2r)=4\\\\2r=4\\\\r=\frac{4}{2}\\\\\boxed{r=2}\\\\\\a_1+a_3=10\\\\a_1+(a_1+2r)=10\\\\2a_1+2r=10\\\\a_1+r=5\\\\a_1=5-2\\\\\boxed{a_1=3}$

Com o valor de a1 e r, podemos achar a2 e a3:

$a_2=a_1+r\\\\a_2=3+2\\\\\boxed{a_2=5}\\\\\\a_3=a_1+2r\\\\a_3=3+2~.~2\\\\\boxed{a_3=7}$

Resposta: (3 , 5 , 7 , ....)