Question

César estava estudando as dízimas periódicas e suas propriedades. Ao brincar com sua calculadora, ele realizou a divisão de dois números naturais e encontrou como resposta o número 0,87333... Qual das divisões pode ter sido digitada por César em sua calculadora?

Answer 1

A divisão digitada por César foi 786/900 ou alguma fração equivalente.

Podemos encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica qualquer seguindo o seguinte método:

1. Escreva a dízima como uma variável.
2. Multiplique por uma potência de 10 suficiente para que a dízima se torne simples.
3. Multiplique novamente por uma potência de 10 onde o expoente é o número de algarismos do período.
4. Subtraia o obtido no passo 3 pelo obtido no passo 2 e encontre a fração.

Seguindo estes passos, temos:

1. x = 0,87333...
2. Para tornar a dízima simples, devemos multiplicar por 100 ou 10², então 100x = 87,333....
3. O período é 3, portanto, apenas um algarismo. Multiplicamos por 10¹ e obtemos 1000x = 873,333...
4. Fazendo 1000x - 100x = 873,333... - 87,333... encontramos 900x = 786

A fração geratriz é x = 786/900.