Respostas
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
RESOLUÇÃO:
OBSERVAÇÃO 1: Na resolução, será considerado como conjunto universo o conjunto dos números reais (R), em virtude de nada haver sido explicitado a respeito disto pelo enunciado. Consequentemente, se o discriminante (Δ) resultar em valor negativo, não serão indicadas raízes no conjunto dos números complexos.
(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:
4.x² + 5.x + 1 = 0
a.x² + b.x + c = 0
Coeficientes: a = 4, b = 5, c = 1
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(II)Cálculo do discriminante, utilizando-se dos coeficientes:
Δ = b² - 4 . a . c
Δ = (5)² - 4 . (4) . 1 ⇒ (Note que (5)² = (5)(5).)
Δ = (5)(5) - 4 . (-2) . 2 ⇒ (Veja a Observação 2.)
Δ = 25 - 4 . (4) . 1 ⇒ (Veja a Observação 3.)
Δ = 25 - 16 ⇒
Δ = 9
OBSERVAÇÃO 2: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
OBSERVAÇÃO 3: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam em sinal de negativo (-).
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(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:
x = (-b +- √Δ) / 2 . a ⇒
x = (-(5) +- √9) / 2 . (4) ⇒
x = (-5 +- 3) / 8 ⇒
x' = (-5 + 3) / 8 = -2/8 = -2(:2)/8(:2) ⇒ x' = -1/4
x'' = (-5 - 3) / 8 = -8/8 ⇒ x'' = -1
Resposta: Os valores de x são -1 e -1/4.
Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:
- S={x E R / x = -1 ou x = -1/4} (leia-se "o conjunto-solução é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a menos um ou x é igual a menos um quarto") ou
- S={-1, -1/4} (leia-se "o conjunto-solução é constituído pelos elementos menos um e menos um quarto").
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo x' = -1/4 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
4.x² + 5.x + 1 = 0 ⇒
4 . (-1/4)² + 5 . (-1/4) + 1 = 0 ⇒
4 . ((-1)²/4²) + 5 . (-1/4) + 1 = 0 ⇒
4 . 1/16 - 5/4 + 1 = 0 ⇒
4/16 - 5/4 + 1 = 0 ⇒ (Veja a Observação 4.)
OBSERVAÇÃO 4: Abaixo o cálculo do mínimo múltiplo comum (m.m.c) entre 16 (na fração 4/16), 4 (em -5/4) e 1 (em 1/1).
m.m.c 16, 4, 1 | 2
8, 2, 1 | 2
4, 1, 1 | 2
2, 1, 1 | 2
1, 1, 1 | 2. 2 . 2 . 2 = 16 = m.m.c(16,4,1)
→Retomando a equação e nela aplicando m.m.c(16,4,1) = 16:
4/16 - 5/4 + 1 = 0 ⇒
(1.4/16) - (4.5/16) + (16.1/16) = 0 ⇒
4/16 - 20/16 + 16/16 = 0 ⇒ (Veja a Observação 5.)
(4 - 20 + 16)/16 = 0 ⇒
(20 - 20)/16 = 0 ⇒
0/16 = 0 ⇒
0 = 0 (Provado que x = -1/4 é solução da equação.)
OBSERVAÇÃO 5: Obtido o m.m.c e igualados os denominadores, basta conservar o denominador e adicionar ou subtrair os numeradores.
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→Substituindo x'' = -1 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
4.x² + 5.x + 1 = 0 ⇒
4 . (-1)² + 5 . (-1) + 1 = 0 ⇒ (Reveja a Observação 3.)
4 . 1 + 5 . (-1) + 1 = 0 ⇒ (Reveja a Observação 2.)
4 - 5 + 1 = 0 ⇒
-1 + 1 = 0 ⇒
0 = 0 (Provado que x= -1 é solução da equação.)
→Veja outra tarefa relacionada à resolução de equação do segundo grau e resolvida por mim:
https://brainly.com.br/tarefa/3031136
Explicação passo-a-passo:
4x^2 + 5x + 1 = 0
a = 4, b = 5, c = 1
delta
d = 25 - 4*4*1 = 25 - 16 = 9
x1 = (-5 + 3)/2 = -1
x2 = (-5 - 3)/2 = -4