Question

Calcular o seguinte limites da função a seguir.

Answer 1

O limite pode ser resolvido por l'Hôpital, uma vez que se substituirmos o 0 em x teremos um caso de indeterminação.

$\lim_{x \to 0}\dfrac{cos(5x)-1}{xsin(5x)}$

Consideremos f ( x ) = cos ( 5 x ) - 1 e g ( x ) = x sin (  5 x ). Encontraremos a deriva do numerador e denominador. Ou seja,

$f(x)=cos(5x)\\ \\ \\ f'(x)=-5sin(5x)\\ \\ \\g(x)=xsin(5x)\\ \\ \\g'(x)=sin(5x)+(5x)cos(5x)$

Mesmo com a substituição de 0 ainda continuaremos com uma indeterminação. Portanto, devemos derivar novamente.

$f''(x)=-25cos(5x)\\ \\ \\ g''(x)=5cos(5x)+( 5cos(5x)-(5x)sin(5x)$

Assim, temos

$\lim_{x \to 0}\dfrac{-25cos(5x)}{5cos(5x)+( 5cos(5x)-(5x)sin(5x)}=-\dfrac{25}{10} =-\dfrac{5}{2}$

Espero ter ajudado.

Answer 2

Resposta:

-5/2

Explicação passo-a-passo:

aplica prosferese e depois o limite fundamental

lim(senx/x), com x --> 0 é igual a 1.

Lim [cos(5x) -1]/xsen(5x), com x --> 0

Lim [cos(5x) -cos0]/2xsen(5x/2).cos(5x/2), com x --> 0

Lim [-2sen(5x/2).sen(5x/2)]/2xsen(5x/2).cos(5x/2), com x --> 0=, cancela 2 e sen(5x/2).

Lim [-sen(5x/2)]/x.cos(5x/2), com x --> 0=, faz a transformação para aplicar o limite fundamental.

Lim {[-(5x/2)sen(5x/2)]/(5x/2)}/x.cos(5x/2), com x --> 0=, cancela x

Lim {[-(5/2).1}/cos(5x/2), com x --> 0=, substitui zero para encontrar o limite.

-(5/2)/cos5(0)/2 =

(-5/2)/cos0 =

(-5/2)/1 =

-5/2

Observação:

Pelo limite fundamental

Lim [sen(5x/2)]/(5x/2), com x --> 0 é igual a 1.