Question

Um trapézio está inscrito em um circulo de raio 1 m e cujo o centro está no interior do trapézio. Sabendo-se que as bases do trapézio são os lados do quadrado e do triângulo equilátero inscritos no círculo, a altura do trapézio, em metros, mede:
a)2√2+1/2
b)√2+2/2
c)√2/2
d)√2+1/2

Answer 1

Se as bases do trapézio, são os lados de um quadrado e um triângulo equilátero inscritos no círculo de 1 m de raio, devemos achá-los para descobrir a altura do trapézio solicitado.

==> 1° base: Quadrado inscrito no círculo.

Se um quadrado está inscrito, então o valor da metade da diagonal é igual ao raio, veja na imagem. Assim:

OBS: diagonal = lado. √2

$\frac{diagonal}{2} = 1\\\\\frac{lado.\sqrt{2} }{2} = 1\\\\lado.\sqrt{2}= 2\\\\ \\lado = \frac{2}{\sqrt{2} } ~~(racionalize) \\\\lado= \frac{2.\sqrt{2} }{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} }{2} = \sqrt{2}$

Portanto, o lado do quadrado mede √2 metros (base 1 do trapézio)

==> 2° base do trapézio (lado do triângulo equilátero)

Para achar o lado do triângulo equilátero, deve-se ter em mente que em um triângulo eq. inscrito em um círculo, o raio é igual a 2/3 da altura.

Dessa maneira,

$raio = \frac{2.altura}{3}\\\\1= \frac{2.altura}{3}\\\\3= 2.altura\\\\altura= \frac{3}{2} = 1,5 m$

A altura vale 1,5m. Agora, podemos achar o valor do lado do t.eq.

$altura = \frac{lado.\sqrt{3} }{2} \\\\1,5 = \frac{lado\sqrt{3} }{2} \\\\3= lado.\sqrt{3} \\\\lado = \frac{3}{\sqrt{3} }~~ (racionalize) = \frac{3\sqrt{3} }{\sqrt{3} \sqrt{3} } = \frac{3\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}$

Dessa forma, o lado do triângulo equilátero inscrito é √3 metros (base 2 do trapézio)

Agora que temos as 2 bases do trapézio (√3 e √2), poderemos achar sua altura. Passos:

1° Dividir a altura em 2 (h1 e h2)

2° Achar a altura dos triângulos com lados: (√3, 1 e 1 // √2, 1 e 1)

*Cálculo de altura 1 (h1) =

Pitágoras (triângulo AXO)

$(h_1)^2+(\frac{\sqrt{2} }{2} )^2 =1^2\\\\(h_1)^2 + \frac{2}{4}= 1\\\\(h_1)^2 = 1-\frac{1}{2} \\\\(h_1)^2 = \frac{1}{2} \\\\h_1 = \sqrt{\frac{1}{2} } = \frac{1}{\sqrt{2} }= \frac{\sqrt{2}}{2}$

*Cálculo da altura (h2)=

Pitágoras triângulo DYO

$(h_2)^2+(\frac{\sqrt{3} }{2} )^2 =1^2\\\\(h_2)^2 + \frac{3}{4}= 1\\\\(h_2)^2 = 1-\frac{3}{4} \\\\(h_2)^2 = \frac{4}{4}- \frac{3}{4}=\frac{1}{4} \\\\h_2 = \sqrt{\frac{1}{4} } = \frac{1}{{2} }$

Achamos as 2 alturas, agora basta somá-las para achar a altura total (H) do trapézio

$\boxed{H= \frac{\sqrt{2} }{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}}$

Resposta: LETRA D