Question

Dada a função () = ², use a soma de Riemann pra estimar a área abaixo do
gráfico de () e acima do eixo Oy no intervalo [0,1], com:

a. = 4

b. = 8

c. → +∞

Gabarito n=4 a resposta é 14/64
Gabarito n=8 a resposta é 140/512
Gabarito → +∞ á resposta 1/3

Answer 1

Resposta:

a) 14/64

b) 140/512

c) 1/3

Explicação passo-a-passo:

Utilizando a soma inferior de Riemann:

Primeiro dividimos o intervalo [0,n] em n regiões, o primeiro ponto será o 0 e aumentará de acordo com o tamanho dos espaços até chegar em n.

$\Delta x=\frac{1}{n}\\\\x=(0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},...,\frac{n-1}{n})$

$A(n)=\sum\limits^{n-1}_{x=0}f(\frac{x}{n})*\Delta x=\sum\limits^{n-1}_{x=0}(\frac{x}{n})^2*\frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum\limits^{n-1}_{x=0}x^2\\\\\\A(n)=\frac{1}{n^3}*\frac{(n-1)*((n-1)+1)*(2(n-1)+1)}{6}=\frac{(n-1)*n*(2n-1)}{6n^3}\\\\A(n)=\frac{(n-1)*(2n-1)}{6n^2}=\frac{2n^2-n-2n+1}{6n^2}=\frac{2n^2-3n+1}{6n^2}\\\\A(n)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}$

Agora é só substituir os valores das questões

$a)\ A(n=4)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2*4}+\frac{1}{6*4^2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{8}+\frac{1}{96}=\frac{32-12+1}{96}=\frac{21}{96}=\frac{7}{32}=\frac{14}{64}\\\\b)\ A(n=8)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2*8}+\frac{1}{6*8^2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{16}+\frac{1}{384}=\frac{128-24+1}{384}=\frac{105}{384}=\frac{35}{128}=\frac{140}{512}\\\\c)\ A(n\rightarrow+\infty)= \lim_{n \to +\infty} A(n)=\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{3}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{n^2}=\frac{1}{3}$