Question

Sejam X,A e B conjuntos com as seguinte propriedades:

a ) X ⊆ A e X ⊆ B
b ) Se Y é um conjunto tal que Y ⊆ A e Y ⊆ B, então Y ⊆ X.

Provar que X = A ∩ B.

Answer 1

Definição (igualdade entre conjuntos): Dois conjuntos P e Q são iguais se e somente se P é subconjunto de Q e Q é subconjunto de P. Em notação matemática,

    P = Q     ⟺    P ⊆ Q  e  Q ⊆ P.

São dados os conjuntos X, A e B com as propriedades seguintes:

a) X ⊆ A  e  X ⊆ B;

b) Se Y é um conjunto tal que Y ⊆ A e Y ⊆ B, então Y ⊆ X.

Consequência da propriedade a):

Ora, se X ⊆ A e X ⊆ B, isto significa que todo elemento de X é elemento de A e também é elemento de B.

    Logo, X ⊆ A ∩ B.     (i)

Sabemos que

    A ∩ B ⊆ A    e    A ∩ B ⊆ B

Seja Y = A ∩ B. Como Y satisfaz as condições da propriedade b), então

    Y ⊆ X

    A ∩ B ⊆ X     (ii)

Por (i) e (ii), aplicando a definição de igualdade entre conjuntos, concluímos que

    X = A ∩ B

como queríamos demonstrar.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)