Question

Seja um campo vetorial F=xy³i + x²yj , e uma região definida pela circunferência de raio unitário mostrada na figura a seguir:

O Teorema de Green pode ser definido por (em anexo) onde C é o caminho formado pelos eixos e o quarto de circunferência na figura anterior.

De acordo com os dados do texto, é correto afirmar que a integral de linha (em anexo) vale:

Alternativas:

a) 0,45.

b) 2π.

c) 1.

d) π.

e) π/2.

Answer 1

Resposta:  $\displaystyle\int_C\overset{\to}{\mathbf{F}}\cdot d\overset{\to}{\mathbf{r}}=\frac{1}{20}=0,\!05.$

    (não encontrei esta alternativa listada na tarefa)

Explicação passo a passo:

É dado o campo vetorial no $\mathbb{R}^2$

    $\overset{\to}{\mathbf{F}}(x,\,y)=xy^3\overset{\to}{\mathbf{i}}+x^2y\overset{\to}{\mathbf{j}}$

cujas componentes são $F_x=xy^3\mathsf{~~e~~}F_y=x^2y.$

Queremos calcular a integral de linha

    $\displaystyle\int_C\overset{\to}{\mathbf{F}}\cdot d\overset{\to}{\mathbf{r}}$

sendo C o caminho descrito no enunciado:

A imagem de C é o arco do primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio 1, unido com dois segmentos de reta que se encontram sobre os eixos coordenados.

As extremidades de cada segmento são a origem do plano e a interseção da circunferência com cada um dos eixos.

A curva C é percorrida no sentido anti-horário (positivamente orientada).

Como C é uma curva fechada, ela delimita no plano uma região R. Podemos descrever R da seguinte forma:

    $R=\{(x,\,y)\in[0,\,1]\times[0,\,1]:~x^2+y^2\le 1\}$

ou, escrevendo y em função de x,

    $R=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~~0\le x\le 1\mathsf{~~e~~}0\le y\le \sqrt{1-x^2}\}$

Calculemos $\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}:$

    $\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y)-\dfrac{\partial}{\partial y}(xy^3)\\\\\\ \dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=y\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2)-x\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(y^3)\\\\\\ \dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=y\cdot 2x-x\cdot 3y^2\\\\\\ \dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=2xy-3xy^2\\\\\\ \dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}=x\cdot (2y-3y^2)$

Calculando a integral de linha pelo Teorema de Green:

    $\displaystyle\int_C\overset{\to}{\mathbf{F}}\cdot d\overset{\to}{\mathbf{r}}=\iint_R\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)dA\\\\\\ =\iint_R x\cdot (2y-3y^2)\,dy\,dx\\\\\\ =\int_0^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}x\cdot (2y-3y^2)\,dy\,dx$

A integral dupla acima é calculada mais facilmente se usarmos coordenadas polares. Façamos a seguinte mudança de variáveis:

    $\left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta\\ y=r\,\mathrm{sen\,}\theta\\ \end{array} \right.$

Os limites de integração para R nas novas coordenadas são

    $0\le \theta\le \dfrac{\pi}{2}\\\\ 0\le r\le 1$

O módulo do Jacobiano dessa transformação é $|Jac|=r.$

Substituindo na integral dupla, obtemos

    $\displaystyle\int_C\overset{\to}{\mathbf{F}}\cdot d\overset{\to}{\mathbf{r}}=\int_0^{\pi/2}\int_0^1(r\cos\theta)\cdot \big[2(r\,\mathrm{sen\,}\theta)-3(r\,\mathrm{sen\,}\theta)^2\big]\cdot |Jac|\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{\pi/2}\int_0^1 r\cos\theta\cdot \big[2r\,\mathrm{sen\,}\theta-3r^2\,\mathrm{sen^2\,}\theta]\cdot r\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{\pi/2}\int_0^1 \cos\theta\cdot (2r^3\,\mathrm{sen\,}\theta-3r^4\,\mathrm{sen^2\,}\theta)\,dr\,d\theta$

    $\displaystyle=\int_0^{\pi/2} \cos\theta\cdot \Big[2\cdot \frac{r^4}{4}\,\mathrm{sen\,}\theta-3\cdot \frac{r^5}{5}\,\mathrm{sen^2\,}\theta\Big]_{r=0}^{r=1}~d\theta\\\\\\ =\int_0^{\pi/2} \cos\theta\cdot \Big[\frac{r^4}{2}\,\mathrm{sen\,}\theta-\frac{3r^5}{5}\,\mathrm{sen^2\,}\theta\Big]_{r=0}^{r=1}~d\theta\\\\\\ =\int_0^{\pi/2} \cos\theta\cdot \Big[\frac{1^4}{2}\,\mathrm{sen\,}\theta-\frac{3\cdot 1^5}{5}\,\mathrm{sen^2\,}\theta\Big]d\theta\\\\\\ =\int_0^{\pi/2} \cos\theta\cdot \Big[\frac{1}{2}\,\mathrm{sen\,}\theta-\frac{3}{5}\,\mathrm{sen^2\,}\theta\Big]d\theta\\\\\\ =\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \mathrm{sen\,}\theta\cos\theta\,d\theta-\frac{3}{5}\int_0^{\pi/2}\mathrm{sen^2\,}\theta\cos\theta\,d\theta$

Agora, faça uma substituição simples:

    $u=\mathrm{sen\,}\theta\quad\Longrightarrow\quad du=\cos\theta\,d\theta$

Novos limites de integração:

    $\begin{array}{lcl} \mathsf{Quando~~}\theta=0&\quad\Longrightarrow\quad&u=\mathrm{sen\,}0=0\\\\ \mathsf{Quando~~}\theta=\dfrac{\pi}{2}&\quad\Longrightarrow\quad&u=\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{2}=1 \end{array}$

Substituindo, a integral de linha fica,

    $\displaystyle\int_C\overset{\to}{\mathbf{F}}\cdot d\overset{\to}{\mathbf{r}}=\frac{1}{2}\int_0^1u\,du-\frac{3}{5}\int_0^1 u^2\,du\\\\\\ =\frac{1}{2}\cdot \frac{u^2}{2}\bigg|_0^1-\frac{3}{5}\cdot \frac{u^3}{3}\bigg|_0^1\\\\\\ =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{3}\\\\\\ =\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\\\\\\ =\frac{5}{20}-\frac{4}{20}$

    $\therefore~~\displaystyle\int_C\overset{\to}{\mathbf{F}}\cdot d\overset{\to}{\mathbf{r}}=\frac{1}{20}=0,\!05\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

a resposta é a letra

Explicação passo a passo:

corrigido pelo ava