Question

Mostre que o volume de uma esfera de raio é dado por v(r) = 4 /3 r^3



alguém mim ajuda!



deixei o anexo também em foto .

Answer 1

Considere a circunferência de equação

    $\mathsf{x^2+y^2=r^2}$

que é uma circunferência com centro na origem e raio r.

Ao fazer a revolução da circunferência acima em torno do eixo x, obtemos uma superfície esférica de raio r.

Para gerar a superfície esférica, podemos utilizar apenas a metade da circunferência que está acima do eixo x, isto é, para y ≥ 0.

Isolando y em função de x,

    $\mathsf{y^2=r^2-x^2}\\\\ \mathsf{y=\pm \sqrt{r^2-x^2}}$

e como só precisamos da metade superior, vamos utilizar o sinal positivo:

    $\mathsf{y=\sqrt{r^2-x^2},\qquad com~-r\le x\le r.}$

A seguir, vamos aplicar o método das seções transversais por planos perpendiculares ao eixo x.

Dado um x qualquer, − r ≤ x ≤ r, a área da seção transversal do sólido, em função de x, é dada por

    $\mathsf{A(x)=\pi\cdot y^2}\\\\ \mathsf{A(x)=\pi\cdot (\sqrt{r^2-x^2})^2}\\\\ \mathsf{A(x)=\pi\cdot (r^2-x^2)}$

e a integral que fornece o volume da esfera é

    $\mathsf{V(r)=\displaystyle\int_{-r}^r A(x)\,dx}\\\\\\ \mathsf{V(r)=\displaystyle\int_{-r}^r \pi\cdot (r^2-x^2)\,dx}\\\\\\ \mathsf{V(r)=\displaystyle \int_{-r}^r (\pi r^2-\pi x^2)\,dx}\\\\\\ \mathsf{V(r)=\displaystyle \int_{-r}^r \pi r^2\,dx-\int_{-r}^r\pi x^2\,dx}\\\\\\ \mathsf{V(r)=\displaystyle \pi r^2\int_{-r}^r dx-\pi \int_{-r}^r x^2\,dx}$

    $\mathsf{V(r)=\pi r^2\cdot x\bigg|_{-r}^r-\pi\cdot \dfrac{x^3}{3}\bigg|_{-r}^r}\\\\\\ \mathsf{V(r)=\pi r^2\cdot \big[r-(-r)\big]-\pi\cdot \bigg[\dfrac{r^3}{3}-\dfrac{(-r)^3}{3}}\bigg]\\\\\\ \mathsf{V(r)=\pi r^2\cdot \big[r+r\big]-\pi\cdot \bigg[\dfrac{r^3}{3}-\dfrac{(-r^3)}{3}}\bigg]\\\\\\ \mathsf{V(r)=\pi r^2\cdot 2r-\pi\cdot \dfrac{2r^3}{3}}\\\\\\ \mathsf{V(r)=2\pi r^3-\dfrac{2\pi r^3}{3}}\\\\\\ \mathsf{V(r)=\dfrac{6\pi r^3-2\pi r^3}{3}}$

    $\mathsf{V(r)=\dfrac{4}{3}\,\pi r^3\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)