Question

4) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo Oy da região

delimitada pelas curvas = e = ².


deixei o anexo também em foto.
alguém mim ajuda! ​

Answer 1

Pede-se o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo Oy ( eixo das ordenadas ou eixo y ).

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Nota-se que as curvas y = x e y = x² se intercepta nos pontos ( 0,0 ) e ( 1, 1 ). De fato, se x = x², vem  que, x² - x = 0  ==>   x ( x - 1 ) = 0. Assim, x' = 0 ou x'' = 1. Isso acontece para o x, mas como queremos o intervalo em relação a y, obtemos também y' = 0 e y'' = 1.

Usamos a seguinte integral genérica para calcular o volume de sólidos $\displaystyle\int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx$ onde x é uma variável genérica.

O volume do sólido que procuramos é dado pela diferença das integrais $\displaystyle\int_{0}^{1}\pi y~dy~-~\displaystyle\int_{0}^{1} \pi y^2~dy$. Uma explicação para isso é que o sólido formado pela rotação em torno do eixo Oy terá um "buraco", que é justamente formado pela a rotação da curva y = x.

$=[\pi \frac{y^2}{2}-\pi \frac{y^3}{3}]_{0}^1 \\ \\ \\ =\pi \frac{1}{2}-\pi \frac{1}{3} \\ \\ \\ =\frac{3\pi-2\pi}{6} \\ \\ \\ =\frac{\pi}{6}~u.v$