Question

Calcule a integral definida

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+(\mathrm{tg}\,x)^{\sqrt{2}}}\,dx$

(Gabarito: π/4)

Favor responder passo a passo de forma clara, organizada e detalhada. Obrigado. :)

Answer 1

Antes vou apresentar a propriedade. Normalmente uma integral é dada por  $1~)~\mathsf{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)~dx}$ se considerarmos f ( a + b - x ), onde x = a e x = b, teremos:

$\mathsf{\displaystyle\int_{a=x}^{b=x}f(a+b-x)~dx}$

Ainda assim, se quisermos voltar a integral 1 ) basta fazer a substituição de u = a + b - x, onde du = - dx, que é o mesmo que dx = - du.

Logo,

$\mathsf{\displaystyle-\int_{b=u}^{a=u}f(u)~du=\displaystyle\int_{a}^{b}f(u)~du}$, onde $\mathsf{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)~dx}$.

Sabendo disso, podemos resolver tranquilamente a integral. Farei de uma forma mais "direta", já que as definições estão acima.

$\mathsf{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{1+(tan~x)^{\sqrt{2}}}~dx}\\ \\ \\ \\ =\mathsf{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{1+(tan~(\frac{\pi}{2}-x))^{\sqrt{2}}}~dx}\\ \\ \\ \\ =\mathsf{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{(tan~x)^{\sqrt{2}}}}~dx}\\ \\ \\ \\ =\mathsf{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{(tan~x)^{\sqrt{2}}}{1+(tan~x)^{\sqrt{2}}}~dx}$

A integral ficou com uma forma diferente. Ainda assim, podemos calcular o dobro da integral somando as duas integrais. Ou seja,

$\mathsf{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{(tan~x)^{\sqrt{2}}}{1+(tan~x)^{\sqrt{2}}}~dx+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{1+(tan~x)^{\sqrt{2}}}~dx=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~1dx={\dfrac{\pi}{2} }}$

Como calculamos o dobro, o resultado ainda não é este. Dessa forma, basta dividir o resultado encontrado por 2. Então,

$\mathsf{\dfrac{\pi}{2} :2}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{\dfrac{\pi}{4}}}~~\checkmark$