Question

numa PA de 10 termos, a soma dos termos de ordem impar é 55 e a soma dos termos de ordem par é 65.O primeiro termo dessa sequencia é

Answer 1

--> Termos de ordem ímpar:  a1 , a3 , a5 , a7 , a9

--> Termos de ordem par:  a2 , a4 , a6 , a8 , a10

Soma dos ímpares:

a1 + a3 + a5 + a7 + a9 = 55

Soma dos pares:

a2 + a4 + a6 + a8 + a10 = 65

Vamos utilizar a equação do termo geral para colocarmos todos termos em função de a1 e da razão:

$\boxed{a_n=a_1+(n-1).r}\\\\\\a_2=a_1+(2-1).r~\rightarrow~\boxed{a_2~=~a_1+r}\\\\a_3=a_1+(3-1).r~\rightarrow~\boxed{a_3~=~a_1+2r}\\\\a_4=a_1+(4-1).r~\rightarrow~\boxed{a_4~=~a_1+3r}\\\\a_5=a_1+(5-1).r~\rightarrow~\boxed{a_5~=~a_1+4r}\\\\a_6=a_1+(6-1).r~\rightarrow~\boxed{a_6~=~a_1+5r}\\\\a_7=a_1+(7-1).r~\rightarrow~\boxed{a_7~=~a_1+6r}\\\\a_8=a_1+(8-1).r~\rightarrow~\boxed{a_8~=~a_1+7r}\\\\a_9=a_1+(9-1).r~\rightarrow~\boxed{a_9~=~a_1+8r}\\\\a_{10}=a_1+(10-1).r~\rightarrow~\boxed{a_{10}~=~a_1+9r}$

Substituindo nas equações, chegaremos ao sistema:

$\left \{ {{5a_1+20r~=~55} \atop {5a_1+25r~=~65}} \right. \\\\\\Podemos~resolver~por~qualquer~metodo~conhecido.~Vou~fazer~utilizando~o~metodo~da~adicao:\\\\2^aeq-1^aeq:\\\\(5a_1+25r)-(5a_1+20r)~=~65-55\\\\5r~=~10\\\\\boxed{r~=~2}\\\\\\Substituindo~a~razao~em~uma~das~equacoes~para~achar~a_1:\\\\5a_1+20r~=~55\\\\5a_1+20.(2)~=~55\\\\5a_1=55-40\\\\a_1~=~\frac{15}{5}\\\\\boxed{a_1~=~3}$