Question

DUVIDA FATORACAO E PRODUTOS NOTÁVEIS ( Ufes) Se a e b são números reais positivos que satisfazem à relação a£-b£<2ab, então​

Answer 1

Olá Vitória! Ótima questão!!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{A}}$

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, desenvolvemos a desigualdade, veja:

$\\ \displaystyle \mathsf{a^2 - b^2 < 2ab \qquad \qquad \div(ab} \\\\\\ \mathsf{\frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab} < \frac{2ab}{ab}} \\\\\\ \mathsf{\frac{a}{b} - \frac{b}{a} - 2 < 0}$

Por conseguinte, considere $\displaystyle \mathtt{\frac{a}{b} = k}$. Com efeito,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{a}{b} = k} \\\\\\ \mathsf{\left ( \frac{a}{b} \right )^{- 1} = (k)^{- 1}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\frac{b}{a} = \frac{1}{k}}}$

Substituindo...

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{a}{b} - \frac{b}{a} - 2 < 0} \\\\\\ \mathsf{k - \frac{1}{k} - 2 < 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{k^2 - 2k - 1}{k} < 0}$

Resolvendo a desigualdade acima,

* Numerador:

$\\ \displaystyle \mathsf{k^2 - 2k - 1 = 0} \\\\\\ \mathsf{k = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}} \\\\\\ \mathsf{k = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{S_1 = \left \{1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2} \right \}}}$

____+_____(1 - √2)___-______(1 + √2)____+________

* Denominador:

$\\ \displaystyle \boxed{\mathsf{k < 0}}$

__________-__________(0)_______+____________

Por fim,

____+_____(1 - √2)____-_______-_____(1 + √2)____+________

____-______________-__(0)___+______________+________

____-_____(1 - √2)___+__(0)___-_____(1 + √2)____+________

Ou seja,

$\displaystyle \boxed{\mathsf{S = \left \{ k \in \mathbb{R} \, | \, k < 1 - \sqrt{2} \ \cup \ 0 < k < 1 + \sqrt{2} \right \}}} \\\\ \Rightarrow \boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ \frac{a}{b} \in \mathbb{R} \, | \, \frac{a}{b} < 1 - \sqrt{2} \ \cup \ 0 < \frac{a}{b} < 1 + \sqrt{2} \right \}}}}$

Porém, de acordo com a e b são reais positivos. Daí,

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{a, b \in \mathbb{R}_{+} \, | \, 0 < \frac{a}{b} < 1 + \sqrt{2} \right \}}}}}}$