Question

A reta de equação x - y + k = 0 é tangente à circunferência de equação x² + y² = 9. Calcule o valor de k.

Answer 1

Se a reta é tangente á circunferência, então o sistema formado pelas duas equações tem uma única solução:

$\left \{ {{x- y + k = 0\Longrightarrow} x = y - k \atop { x^{2} + y^{2} = 9 }} \right.$

Substituindo x na segunda equação, temos:

x² + y² = 9

(y - k)² + y² = 9

y² - 2Ky +k² + y² -9 = 0

2y² - 2ky + k²  - 9 = 0

Para que a solução seja única devemos ter Δ = 0

Δ = 4k² - 8(k² - 9) = 0

4k² - 8k² + 72 = 0

-4k² + 72 = 0

$k^{2} = \frac{72}{4} = 18$

$k = \pm \sqrt{18}$

$\boxed{k = \pm 3\sqrt{2} }$

Answer 2

A reta será tangente à circunferência para os valores $k = \pm 3 \sqrt{2}$.

Para quais valores de k a reta é tangente á circunferência?

Para que uma reta dada na questão proposta seja tangente a circunferência basta que, a quantidade de pontos em comum dessas duas curvas seja igual a 1. Ou seja, que a quantidade de soluções do sistema de equações abaixo seja igual a 1:

$x - y + k = 0$

$x^2 + y^2 = 9$

Isolando o valor de y na primeira equação e substituindo na segunda equação, podemos escrever:

$x^2 + (x + k)^2 = 9$

$x^2 + (x + k)^2 - 9 = 0$

$2x^2 + 2kx + (k^2 - 9) = 0$

A equação encontrada acima é uma equação de segundo grau na variável x, portanto, terá uma única solução se a constante delta for igual a zero, ou seja:

$(2k)^2-4 * 2* (k^2-9)=0$

$-4k^2 +72=0$

$k^2 = 72/4 = 18$

$k = \sqrt{18} = \pm 3 \sqrt{2}$

Para mais informações sobre posição relativa entre uma reta e uma circunferência, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/54023458

#SPJ2