Question

resolva a EDO seguinte :

Answer 1

L(di/dt)+Ri=E(t)

L(di/dt)=E(t)-Ri

Ldi=[E(t)-Ri]dt

usando integral em ambos os lados

Li=t.E(t)-Rit+c

c=constante de integração

(Li=t[E(t)-Ri+c])

coloquei c junto no fator em evidência pois o produto de uma constante por outra resulta em uma constante.

Answer 2

Resposta: $i(t)= e^{-\frac{Rt}{L}}\int e^{\frac{Rt}{L}}E(t)dt + ke^{-\frac{Rt}{L}}$

Explicação passo-a-passo:

Aqui temos uma equação diferencial de primeira ordem:

$L\frac{di}{dt} + Ri = E(t)$

$\frac{di}{dt} + \frac{Ri}{L} = \frac{E(t)}{L}$

Não podemos separar essa EDO e integrar diretamente, pois o E(t) não é constante (depende do tempo). Nesse caso vamos usar a técnica dos fatores integrantes. Vamos multiplicar a EDO acima por uma função desconhecida g(t);

$g(t)\frac{di}{dt} + g(t)\frac{Ri}{L} = g(t)\frac{E(t)}{L}$

Note que o primeiro membro da EDO acima lembra a derivada do produto de duas funções:

$\frac{d}{dt} [g(t)i]= g(t)\frac{di}{dt} + g(t)\frac{Ri}{L}$

$\frac{d}{dt} [g(t)i]= g(t)E(t)$

Logo concluímos que:

$\frac{dg(t)}{dt} = g(t)\frac{R}{L}$

A EDO resultante acima é perfeitamente separável, para facilitar a notação iremos assumir que g(t) = g

$\frac{dg}{g}=\frac{R}{L}dt$

$\int\frac{dg}{g}=\frac{R}{L}\int dt$

$\ln(g) = \frac{R}{L}t + C$

Para que a função g(t) seja a mais simples possível, fazemos C = 0;

$\ln(g) = \frac{R}{L}t$

$g(t) = e^{\frac{Rt}{L}}$

Agora que encontramos g(t), vamos substituir em:

$\frac{d}{dt} [e^{\frac{Rt}{L}}i]= e^{\frac{Rt}{L}}E(t)$

Agora podemos integrar diretamente a EDO inicial;

$\int {d} [e^{\frac{Rt}{L}}i]= \int e^{\frac{Rt}{L}}E(t)dt$

$e^{\frac{Rt}{L}}i= \int e^{\frac{Rt}{L}}E(t)dt + k$

:. $i(t)= e^{-\frac{Rt}{L}}\int e^{\frac{Rt}{L}}E(t)dt + ke^{-\frac{Rt}{L}}$

A equação acima mostra o comportamento da corrente elétrica em qualquer instante t.

Aí está!!!