Question

Qual o resultado deste limite $\lim_{x \to \00} \frac{cox-1}{2x}$

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\cos(x) \ - \ 1}{2\cdot x} \ = \ 0}$

Explicação passo-a-passo:

Primeira forma: "Escapando" da indeterminação $\mathsf{\dfrac{0}{0}}$

Por $\mathsf{(a \ - \ b)\cdot(a \ + \ b) \ = \ a^2 \ - \ b^2}$, tem-se:

$\mathsf{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\cos(x) \ - \ 1}{2\cdot x} \ \cdot \dfrac{\cos(x) \ + \ 1}{\cos(x) \ + \ 1} \ }$

$\mathsf{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \ \ \dfrac{\overbrace{\mathsf{\cos^2(x) \ - \ 1^2}}^{-sen^2(x)}}{2\cdot x \ \cdot (\cos(x) \ + \ 1)}}$

$\mathsf{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \ \dfrac{sen(x)}{x} \ \cdot \ \dfrac{-sen(x)}{2 \ \cdot \ (\cos(x) \ + \ 1)}}$

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \ \dfrac{sen(x)}{x}}}_{lim. \ trig. \ fundamental \ = \ 1} \ \cdot \ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \ \ \dfrac{-sen(x)}{2 \ \cdot \ (\cos(x) \ + \ 1)}}$

$\mathsf{1\cdot \ \dfrac{\overbrace{\mathsf{-sen(0)}}^{0}}{2 \ \cdot \ (\underbrace{\mathsf{\cos(0)}}_{1} \ + \ 1)} \ = \ \boxed{\boxed{\mathsf{0}}}}$

Segunda forma: Aplicando a Regra de L'Hopital

$\mathsf{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \ \dfrac{\frac{d(\cos(x) \ - \ 1)}{dx}}{\frac{d (2\cdot x)}{dx}}}$

$\mathsf{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \ \dfrac{\cos'(x) \ - \ 1'}{(2\cdot x)'}}$

Usando a derivada trigonométrica do cosseno: $\mathsf{\cos'(x) \ = \ -sen(x)}$

$\mathsf{\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \ \dfrac{-sen(x) \ - \ 0}{2}}$

$\mathsf{\dfrac{-sen(0)}{2} \ = \ \boxed{\boxed{\mathsf{0}}}}$