Question

Me ajudem não estou conseguindo fazer esse exercício

Answer 1

Resposta: $4(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\;\text{cm}$

Explicação passo-a-passo:

Olá!

   Sendo AB, AC e AD coplanares, e tendo o ângulo DAE = 90º, então conclui-se, também, que BAE = 90º. Daí, o triângulo EBA é retângulo em A e, por Pitágoras (pois um dos lados mede 3 cm e o outro 5 cm - lembre das ternas pitagóricas) temos que AE = 4 cm.

   Assim, também pelo teorema de Pitágoras (agora no triângulo EAD, retângulo em A), obtemos

$(\text{DA})^2+(\text{AE})^2=(\text{DE})^2\Leftrightarrow 8^2+4^2=(\text{DE})^2\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \text{DE}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}\;\text{cm}.$

    Mais uma vez utilizando o teorema de Pitágoras, pois o triângulo ECA é retângulo em A, temos:

$(\text{CA})^2+(\text{AE})^2=(\text{EC})^2\Leftrightarrow 4^2+4^2=(\text{EC})^2\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \text{EC}=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}\;\text{cm}.$

   E adivinha? De novo usando Pitágoras hahahahaah (ECD é retângulo em C), obtemos:

$(\text{DE})^2=(\text{EC})^2+(\text{CD})^2\Leftrightarrow \\ \\ (4\sqrt{5})^2=(4\sqrt{2})^2+(\text{CD})^2\Leftrightarrow (\text{CD})^2=16\cdot 5 - 16\cdot 2\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \text{CD}=\sqrt{80-32}=\sqrt{48} = \sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\;\text{cm}.$

O perímetro procurado (chamemos de p) é dado por

$p=(\text{EC}+\text{CD}+\text{DE})\;\text{cm}=(4\sqrt{2}+4\sqrt{3}+4\sqrt{5})\;\text{cm}=\\ \\ = 4(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})\;\text{cm}.$

Bons estudos!