Question

Determine as coordenadas de P(x,y) sabendo que ele é e equidistante aos pontos M(3,6), N(4,3) e O(0,9) alguém me ajuda por favor

Answer 1

Se são equidistantes, as distancias PM, PN e PO são todas iguais. Utilizando a equação da distancia entre pontos, podemos achar estas equações:

$\boxed{Distancia_{A,B}~=~\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}}\\\\\\\\Distancia_{PM}~=~Distancia_{PN}\\\\\\\sqrt{(x-3)^2+(y-6)^2}~=~\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2}\\\\\\(x-3)^2+(y-6)^2~=~(x-4)^2+(y-3)^2\\\\\\(x^2-6x+9)+(y^2-12y+36)~=~(x^2-8x+16)+(y^2-6y+9)\\\\\\-6x+8x-12y+6y+9+36-16-9~=~0\\\\\\2x-6y+20~=~0\\\\\\2x~=~6y-20\\\\\\\boxed{x~=~3y-10}$

Achamos uma relação entre "x" e "y", precisamos de outra para podermos formar um sistema de 2 equações e 2 incógnitas (x e y). Para isso vamos equacionar outras duas distancias. Podemos utilizar tanto PM e PO quanto PN e PO.

$Distancia_{PM}~=~Distancia_{PO}\\\\\\\sqrt{(x-3)^2+(y-6)^2}~=~\sqrt{(x-0)^2+(y-9)^2}\\\\\\(x-3)^2+(y-6)^2~=~(x)^2+(y-9)^2\\\\\\(x^2-6x+9)+(y^2-12y+36)~=~x^2+(y^2-18y+81)\\\\\\-6x-12y-18y+9+36-81~=~0\\\\\\-6x-30y-36~=~0\\\\\\6x~=~-30y-36\\\\\\\boxed{x~=~-5y-6}$

Igualando as duas expressões de "x" achadas:

$3y-10~=~-5y-6\\\\\\3y+5y~=~-6+10\\\\\\8y~=~4\\\\\\y~=~\frac{4}{8}\\\\\\\boxed{y~=~\frac{1}{2}}$

Por fim, achamos "x" substituindo o "y" achado em uma das equações:

$x~=~3y-10\\\\\\x~=~3~.~\frac{1}{2}-10\\\\\\x~=~\frac{1~.~3~-~2~.~10}{2}\\\\\\\boxed{x~=~-\frac{17}{2}}$

Resposta: P tem coordenadas (x,y) = (-17/2  ,  1/2)