Question

Questão da  prova de 2012 do IF, to precisando muuuuuito gente me ajudem !


  $\sqrt{10 +\sqrt{10} } . \sqrt{10 -\sqrt{10} }$

Answer 1

Este é um caso que devemos fazer a transformação de um radical duplo (ou radical biquadrático) em uma soma de dois radicais simples assim:

I) $\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}$

Onde $C=\sqrt{A^2-B}$.

Temos que:

$A=10$ e
$B=10$

Onde $(\sqrt{10\pm\sqrt{10}})$ 

Primeiramente vamos calcular o valor de $C$. Assim:

$C=\sqrt{A^2-B}$

$C=\sqrt{10^2-10}$

$C=\sqrt{100-10}$

$C=\sqrt{90}$

$C=\sqrt{9.10}$

$C=\sqrt{3^2.10}$

$C=3\sqrt{10}$

Agora teremos:

$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}$

$\sqrt{10\pm\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}\pm\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}}$

Voltando para o questão teremos:

$(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=$
$(\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}+\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})\cdot (\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}-\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})$

Depois da transformação temos um produto notável, que é o produto da soma pela diferença, que se resolve assim:

$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

Então fazemos:

$(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=$
$(\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}+\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})\cdot (\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}-\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})$

$(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=(\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}})^2-(\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})^2$

$(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{10+3\sqrt{10}}{2}-\frac{10-3\sqrt{10}}{2}$

$(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{10+3\sqrt{10}-(10-3\sqrt{10})}{2}$

$(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{10+3\sqrt{10}-10+3\sqrt{10}}{2}$

$(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{3\sqrt{10}+3\sqrt{10}}{2}$

$(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{2\cdot 3\sqrt{10}}{2}$

$(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{1\cdot 3\sqrt{10}}{1}$

$(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=3\sqrt{10}$